Готовимся к ЕГЭ по математике

При повторении темы «Метод координат в пространстве» составляем список задач, решаемых « силами» этой темы:

К решению задач (С2) приступаем после повторения тем «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Многогранники».

Задача С2

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой В₁D, если расстояние между прямыми А₁С₁ и BD равно .

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямая призма,
АВ = 5, AD = , АА₁   = .
,
М – середина DC
Найти: tg < (;АА₁D)
Координатный способ решения:

Найдем косинус угла между указанными плоскостями, как модуль косинуса угла между нормалями к этим плоскостям. Вектор АВ – нормаль к плоскости грани AA₁D₁D, Вектор DB₁ – нормаль к другой плоскости.
Введем систему координат и определим координаты точек  A(5;0;0), B(0;0;0), D(5;;0), B₁(0;0;)

Вектор АВ{– 5; 0; 0}, вектор DB₁{– 5; – ; }.

 

Ответ: 1,2

Традиционный способ решения:

Угол между указанными плоскостями можно найти как угол между прямыми, перпендикулярными к указанным плоскостям, это прямые DC  и  В₁D.

Из треугольника ВВ₁С находим В₁С:

.

Из треугольника В₁DС находим тангенс угла В₁DС

 

Ответ: 1, 2

После разбора решения задач учащимся предлагается сделать подборку задач из материалов ЕГЭ, решить их разными способами и выступить перед одноклассниками на конференции. Результатом индивидуальной и групповой работы является презентация

Решение задач с параметрами

С5. Найти все значения а, такие, что уравнение  имеет единственное решение.

I способ

 Рассмотрим функцию .
Если  возрастает.

Если убывает.

Значит наименьшее значение функции f(x) равно или f(– 3), или f(a/2) и уравнение

 будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда

Ответ: а  =  – 4, а  =  – 8.

II способ

Решим уравнение графически. Построим график функций

График функции будем строить так, чтобы была одна точка пересечения графиков. Это возможно в двух случаях:

Отсюда следует, что а/2 = – 4 или а/2 = – 2, то есть а = – 8 или а = – 4

Ответ: а = – 4, а = – 8.

III способ

Рассмотрим все случаи раскрытия модулей и покажем область решения уравнения на координатной плоскости АОХ.

Уравнение имеет единственное решение в точках а = – 4 и а = – 8. Эти значения находятся при построении графиков линейных функций или из соответствующих уравнений.

Ответ: а  =  – 4, а  =  – 8.

Итогом работы ученика по данной теме служит презентация

Задачи на определение области значений функции

В4. Найдите наименьшее значение функции 

.

I способ

Запишем функцию в виде

Область определения функции: sin3x + 50 sin3x  –5

Справедливо для любого х.

Так как рассматриваемая функция периодическая с периодом , то рассмотрим поведение функции и ее производной на отрезке

Наименьшее значение функция принимает  в точке .

Ответ: 2

II способ

Запишем функцию в виде

Область определения функции: sin3x+50 sin3x  –5

Справедливо для любого х.

Е (sin3x) = [–1; 1]
E (sin3x + 5) = [4; 6]

Функция  возрастает на [4;6], следовательно, наименьшее значение принимает в точке 4.

Ответ: 2.

На одном из следующих занятий ученицей был представлен реферат с подборкой и решением задач по этой теме.

Организуя такую работу, учитель «убивает» сразу несколько зайцев: проводит коллективное повторение, углубленную подготовку сильных учеников и пополняет коллекцию дидактических материалов.