Урок по теме "Правильные многоугольники". Геометрия. 9-й класс

Цели урока:

• Учебные
  • повторить уже известные сведения о правильных многоугольниках (определения, свойства, зависимость между элементами);
  • показать взаимосвязь между элементами правильных многоугольников вписанных в одну окружность и описанных около одной окружности;
  • научить решать задачи с использованием данных формул и выведением новых формул;
  • повторить построение правильного треугольника, четырехугольника, шестиугольника с помощью циркуля и линейки;
  • научить решать задачи по теме (от простейших, для которых достаточно использование одной формулы, до более сложных, требующих преобразований и решения уравнений)
• Воспитательные
  • показать учащимся связь времен (прошлого и настоящего);
  • показать связь наук (истории и математики);
  • показать практическое применение геометрии;
  • создать комфортную, здоровье сберегающую атмосферу на уроке;
  • показать творчество учащихся, их артистизм;
  • научить работать в диалоге, взаимопомощи при решении задач и обсуждении проблем;
  • развивать надпредметные умения и навыки.

Организация урока:

1. Доска (можно использовать интерактивную доску с проектором) с заранее подготовленными чертежами;
2. Раздаточный материал
3. Двое учащихся в ролях Пифагора и его ученика (можно в соответствующих тому времени одеждах)
4. Один ученик для чтения (выступления) биографической справки.

Вступление

Теплый летний день, на берегу моря сидит Пифагор, глядит на спокойное море (нарисованное на доске), и говорит.

Пифагор:

Сижу я у моря и думаю, в чем гармония мира,
Как просчитать порядок жизни людской, устройства страны.
Числа, фигуры, постройки, деревья, зверьё, человек – все воедино
Связаны цепью событий. Природа всевластна над нами.
Мы ж постигаем священный союз Вселенной и собственных
Душ. Настоящий философ – тот, чьи мысли чисты и полон
Силой любви бескорыстной к сущим творениям божьим.

Ученик Пифагора:

Извините, Учитель, что я прерву Ваши думы. Я рассматривал те фигуры, что Вы нарисовали на песке, и нашел некоторую закономерность. Послушайте, возможны только три случая покрытия плоскости правильными многоугольниками: вокруг одной точки на плоскости можно плотно уложить либо 6 правильных треугольников, либо 4 правильных четырехугольника, либо 3 правильных шестиугольника. Получилось интересное отношение количества фигур 6 : 4 : 3 и сторон 3 : 4 : 6.

Пифагор:

Да, Ученик, во всем мире явления подчинены определенным числовым соотношениям, есть космическая гармония, элементы чисел являются элементами всех вещей и вся Вселенная является гармонией и числом.

Учитель математики:

Добрый день. Кто вы, рассуждающие о геометрии и гармонии?

Пифагор:

Я – Пифагор, это мой ученик, а это моя школа.

(Показывает на класс учащихся)

Краткая биографическая справка: (читает один из учащихся класса)

ПИФАГОР

Греческий философ с острова Самос, основатель пифагорейской школы, ученик Ферекида Сиросского, испытал воздействие Анаксимандра и Фалеса. Хотя в историчности личности Пифагора сомневаться невозможно, даже ранние источники полны противоречий.
По некоторым данным он родился около 580 года до новой эры на острове Самос, расположенном у самых берегов Малой Азии. Совсем юным Пифагор покинул Самос. Он поставил себе цель – найти путь, ведущий к свету истины, то есть познать жизнь в единстве. С этой целью Пифагор посетил весь древний мир, расширяя свой кругозор, изучая все религии, доктрины и культы. На Самосе он осуждал правление тирана Поликрата, уехав, совершил путешествие в Египет, Финикию, Сирию, Азию, Африку, Хиндустан и Вавилон. В Кротоне, в Южной Италии, он нашел вторую родину. Там он основал свою школу, религиозно- философское братство, передавая свое учение группе избранных учеников, пытался применить его к воспитанию юношества и жизни государства, идеал устройства которого состоял в гармонии и был чужд олигархии.
Судьба его и его школы имела печальный конец. Пифагор со своими учениками был вынужден бежать из Кротона. В городе Метапонте, будучи восьмидесятилетнем старцем, Пифагор погиб в стычке со своими противниками.
Уже при жизни Пифагора чрезвычайно почитали. С его изображениями в Абдерах выпускались монеты в 430-420 годах до н. э.  Пифагор был первым представителем философского идеализма в греческой философии.
В области математики ему приписывается систематическое введение доказательств в геометрию, построение планиметрии прямолинейных фигур, создание учения  о подобии, доказательство теоремы, носящей его имя, построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, решение задач на построение с помощью циркуля и линейки. А также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных, совершенных и дружественных числах, об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях.
Вокруг личности Пифагора создалось столько легенд, что трудно судить, что в них отчасти соответствует действительности и что является вымыслом.
Именем Пифагора назван кратер на видимой стороне Луны.

Учитель математики:

Что же такое правильные многоугольники? Почему обычный треугольник не является правильным, и что такого неправильного в ромбе или прямоугольнике (изображает фигуры на доске), а вот пятиугольник – красивый флажок.

Пифагор:

На эти простые вопросы Вам ответят мои ученики (показывает на класс), я же пойду размышлять о мире и политике. (Уходит.)

Ученик Пифагора:

Друзья, (обращается к классу) помогите несведущей женщине разобраться в тайнах нашей науки. Вы же, (к учителю математики) внимайте речам, задавайте вопросы, в беседе научной познаете мудрость, получите удовольствие.

ХОД УРОКА

Учебный диалог. Фронтально-индивидуальная работа. Каждый может ответить на вопрос, каждый может выйти к доске. Атмосфера демократичная. Учитель – координатор учебного процесса. Ученики – главные действующие лица и исполнители.

Учитель математики:

– Что такое правильные многоугольники?
– Являются ли они выпуклыми?
– Можно ли около правильных многоугольников описать окружность?
– Можно ли в правильный многоугольник вписать окружность?
– Помогите мне построить правильный треугольник, четырехугольник, шестиугольник.
– Как построить правильный треугольник? (один из учеников показывает построение на доске, а остальные комментируют его действия)
– Как построить правильный четырехугольник? (один из учеников показывает построение на доске, а остальные комментируют его действия)
– Как построить правильный шестиугольник? (один из учеников показывает построение на доске, а остальные комментируют его действия)
– Чему равны их внутренние и внешние углы.
– Каковы отношения между сторонами, радиусами вписанной и описанной окружностей для этих фигур?
– Как лучше обозначить стороны правильных многоугольников?
– Выразите радиусы вписанной и описанной окружностей через сторону каждого из нарисованных правильных многоугольников.
– Как найти периметр и площадь.
– Как найти длину окружности и площади круга?
– Какой из радиусов надо подставить в эти формулы, если я хочу найти площадь вписанного круга? Или длину описанной окружности?
– Как найти длину дуги окружности и площади кругового сектора?
– Можно ли находить длину дуги между вершинами как часть окружности?
– Можно ли получить площадь сектора как часть круга?

(Получив ответ на каждый из вопросов, учитель выполняет соответствующие чертежи и надписи на доске).

Все выводы формул записаны в «шпаргалку».

– Спасибо большое, дорогие юные мудрецы.
– Перед тем как приступить к выполнению письменной работы сделаем упражнение для глаз. Проведите взглядом по контурам каждого нарисованного многоугольника и круга.

(Учитель математики обводит цветным мелом каждую построенную фигуру.) А теперь попробуйте сделать это с закрытыми глазами.

Пока у учащихся закрыты глаза, учитель вносит «добавки» на чертежи.

Задачи к уроку

– Позвольте теперь проверить, хорошо ли вы справитесь с вычислениями тех соотношений, о которых мы поговорили.
Возьмите свитки (листы с дополнительными задачами), почитайте, подумайте, порешайте, кто справится сейчас, буду благодарна, если не успеете, доделаете дома. Ваши результаты не пропадут даром, а будут суммированы.
Удачи вам в работе.
В конце урока у меня к вам будет небольшая просьба ответить на вопросы анкеты, которая лежит у вас на столах.
Спасибо Вам, дорогие друзья. Я поняла, как красива бывает геометрия. Вы многому меня научили, и теперь, благодаря Вам, я могу считать себя учеником Пифагора.

Заключение

Дорогие друзья! Пожалуйста, ответьте на вопросы, касающиеся прошедшего урока.

– Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)
– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)
– Какое самочувствие? (Устал – не устал)
– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)
– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)
– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).

Домашнее задание: Доделать задачи из классной работы дифференцированно: слабые учащиеся выполняют треть всех задач, средние –  две трети, сильным рекомендуется решить все задачи на дополнительную отметку.