Конспект открытого урока "Признаки возрастания и убывания функции. Исследование функции на экстремум"

В результате изучения темыстуденты должны

• знать: признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежуткимонотонности. Определения точек максимума и минимума функции; необходимое и достаточное условие существования экстремума, алгоритм исследования функции на экстремум.
• уметь: исследовать несложные функции на промежутки монотонности, находить экстремумы функции.

Тип урока: комбинированный.

Техническое обеспечение: интерактивная доска, компьютер.

 В приложении даны варианты тестовых заданий.

Цели урока:

1. Научить исследовать функцию на промежутки монотонности , находить экстремумы функции.
2. Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).
3. Формирование интереса к предмету.

На доскеназвание темы урока (Презентация. Слайд1).

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применениик исследованию функций.

Какой бы ни была ваша специальность в будущем, вы все изучаете различные объектыи процессы (физические, экономические, общественные и другие). Чтобы изучить любой процесс (будь то распад ядер, движение транспорта, изменение производительности труда) необходимо пройти следующие этапы:

1. Создать математическую модель процесса или объекта, т.е. отыскать функцию, составить уравнения, описывающие процесс.
2. Исследовать созданную модель, т.е. выяснить как хорошо она описывает данный объект.
3. Предсказать на основе полученных результатов развитие процесса или объекта.

Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности и экстремумов функции.

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Итак, внимание! Проводится фронтальный опрос

1. Что называется функцией?
2. Что называется областью определения функции?
3. Какая функция называется возрастающей на промежутке?
4. Какая функция называется убывающей на промежутке
5. Что называется приращением аргумента?
6. Что называетсяприращением функции?
7. Что называется первой производной функции?

Определение промежутков монотонности, значит, определение тех промежутков, где функция возрастает или убывает. Давайте рассмотрим это свойство на конкретных примерах.

1. Что происходит с давлением газа в цилиндре под поршнем, если увеличить объём газа при постоянной температуре? . Какая это функция? Убывающая. (Слайд 2)
2. Что происходит с силой постоянного тока при увеличении напряжения на участке цепи?  - вольтамперная характеристика. Возрастающая функция. (Слайд 3)
3. Что происходит с силой тока при размыкании цепи?  Какая это функция? Убывающая. функция. (Слайд 4)
4. Что происходит с давлением газа при увеличении температуры?Увеличивается (летом шины автомобиля накачивают меньше, чем зимой). (Слайд 5)

В приведённых примерах функция на всей области определения возрастает или убывает. Но может быть иначе. Если мы возьмём графики переменного тока, то эти функции (сила тока, напряжение, эдс) на разных промежутках области определения ведут себя по-разному (возрастание сменяется убыванием и наоборот (Слайд 6).

Вопрос о возрастании и убывании функции очень важен для всех областей познания. Изучив его, можно решить множество практических задач: рассчитать параметры электрической цепи, разработать график движения транспорта, при котором сумма расходов будет наименьшей, экономия труда, материалов, энергоресурсов и многие другие.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Признаки возрастания и убывания функции. Исследование функции на экстремум.

На уроке рассмотрим следующиевопросы: (Слайд 7)

План:

1. Признаки возрастания и убывания функции.
2. Максимум и минимум функции (экстремум), необходимое и достаточное условие существования максимума и минимума функции.
3. Исследование функции на экстремум.

Переходим к первому вопросу.

1. Изобразим функции непрерывные на некотором промежутке.

а) (Слайд 8)

>0; >0
>0; >0
>0; >0

функция возрастает

б ) (Слайд 9)

>0; >0
<0; <0.
  <0; <0

функция убывает

а) Если в некотором промежутке первая производная функции больше нуля, то функция возрастает на этом промежутке;

б) Если в некотором промежутке первая производная функции меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.

Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, называются промежутками монотонности.

Переход от возрастания к убываниюи обратно возможен лишь в точках, при переходе через которые, производная меняет свой знак. Такими точками являются те, в которых производная равна нулю или не существует, они называются критическими.

 Порядок нахождения промежутков монотонности:

1. Найти область определения функции.
2. Найти первую производную функции.
3. Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

Рассмотрим несколько примеровисследования функции на возрастание и убывание.

 Найти промежутки монотонности функций:

1)

а) область определения ,

б) найдем первую производную:,

в)найдем критические точки: ; ,  и

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		0		2
	+	0	-	0	+
	↑		↓		↑

Итак, в промежутках  функция  возрастает, в промежутке  убывает.

2)

а) областьопределения ,

б) найдем первую производную: ,

в) найдем критические точки:; ,

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		0
	-	0	-
	↓		↓

Функция  убывает на всей области определения.

3) .

а) область определения ,

б) найдем первую производную: ,

в) найдем критические точки:; ;

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		2,5
	-	0	+
	↓		↑

Функция  возрастает на промежутке , убывает на промежутке

Самостоятельно найти промежутки монотонности функции .

Переходим ко второму вопросу.

2. а) Пусть график некоторой функции имеет вот такой вид. (Слайд 10)

 Если рассмотреть значение функции в точке , то оно будет наименьшим (минимальным), чем в любой другой из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что - точка минимума.

Точка  из области определения функции называется точкой минимума, если для любого  изокрестноститочки  выполняется неравенство > .

б) Если рассмотреть значение функции в точке  на этом графике (Слайд 11), то оно будет наибольшим (максимальным), чем в любой другой точке из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что - точка максимума.

Точка из области определения функции называется точкой максимума, если для любого  изокрестноститочки выполняется неравенство <

 Максимум и минимум функции объединяют словом экстремум ( с латинского - крайний), а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками)

Не следует считать, что максимум является наибольшим на всей области определения этой функции; он является наибольшим лишь по сравнению со значениями, взятыми в некоторой окрестности точки максимума. На данном интервале функция может иметь несколько максимумов, причём некоторые из максимумов могут быть меньше некоторых минимумов (Слайд 12).

При каких же условиях функция имеет экстремум? Исследуем поведение функции в окрестности точек экстремума. Видно, что точкамаксимума служит границей перехода от возрастания к убыванию функции, а точка минимума - от убывания к возрастанию.

Необходимое условие существования экстремума функции в точке: Если -точка экстремума функции и в этой точке функция дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю.

(Точками экстремума могут служить лишь критические точки, в которых производная равна нулю или не существует).

Необходимое условие не является достаточным, т.е. из того факта, что производная равна нулю в некоторой точке, не следует, что функция в этой точке имеет экстремум(например, функция ).

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точкусмены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет .

Переходим к третьему вопросу.

3. План исследования функции на экстремум:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную.
3. Найти критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Расположить их в порядке возрастания.
4. Исследовать знак производной в полученных промежутках.
5. Вычислить значение функции в точках максимума и минимума.

Найти экстремумы функций:

а);

1. область определения ,
2. найдем первую производную: ,
3. найдем критические точки: ; ;

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		-1		0		1
	-	0	+	0	-	0	+
	↓	Минимум 0,5	↑	Максимум  0	↓	Минимум  0,5	↑

б);

1. область определения ,
2. найдем первую производную ;
3. найдем критические точки: ; ;

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		2,5
	-	0	+
	↓	Минимум 1,25	↑

в)

1. область определения ,
2. найдем первую производную6
3. найдем критические точки: ; ,

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		-2		2
	-	0	+	0	-
	↓	Минимум -11	↑	Максимум  21	↓

В конце урока , в качестве проверки усвоения нового материала проводится тестирование. (Слайды 13-17)