Решение задач по теме "Геометрическая прогрессия"

Цель: совершенствовать навыки решения задач на применение определения геометрической прогрессии, характеристического свойства, формул n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Сообщить тему, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

1) Учитель: Ребята, скажите, какие анализаторы использует человек при восприятии информации? При восприятии информации человек использует анализаторы запаха, вкуса, осязания, зрения, слуха. Для рационального использования информации необходимо знать свой доминирующий анализатор, обычно это зрение и слух. А теперь давайте выясним, у кого какой доминирующий анализатор. Для начала проверим вашу зрительную память. На доске написано 2 ряда чисел, сейчас они закрыты. Я открою их на одну минуту, а вы постарайтесь запомнить и по моей команде запишите в тетрадь. Внимание! Начали!

На доске записаны числа: -12; -9; -6; -3; 0;3; 6; 9; 12.

4; -2; 1; -  - 

Проверяем правильность записи. Не огорчайтесь, если кто-то ошибся. Возможно, это случайность. Сейчас проверим еще раз. Теперь на доске будут записаны равенства, которые надо будет запомнить. Внимание! Начали!

Запись на доске:

(во время этой работы повторить с учащимися определение геометрической и арифметической прогрессии, характеристическое свойство геометрической прогрессии).

А теперь проверим слуховую память. Я прочту 2 раза определение, а вы должны записать его в тетради. Итак, слушайте:

При <1существует предел суммы первых n членов геометрической прогрессии при n ∞ , называемый суммой бесконечно убывающей прогрессии. Этот предел равен . Запишите.

После паузы проверяется запись.

Не огорчайтесь, если кто-нибудь допустил ошибку, значит, у вас лучше развита зрительная память, зрительные анализаторы, да есть же еще и другие анализаторы.

2) А теперь я хочу предложить следующую ситуацию.

(Вызвать 1 ученика к доске.) Ученик должен идти от стола учителя к двери по прямой по такому закону: первый шаг он делает длиной 1 м, второй - м, третий - м и т.д. так, что длина следующего шага в 2 раза меньше предыдущего. Вопрос: дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3м? Какой путь пройдет ученик, если считать его движение бесконечным?

Ответ: 1 +  +  +…+ +… Sn 2 при n∞.

3) Учащимся раздаются заготовки листов для проверки знаний теории по теме «Геометрическая прогрессия»

№ п/п	Геометрическая прогрессия	Формулы
1	Определение
2	Формула n первых членов
3	Сумма n первых членов
4	Характеристическое свойство

Ученики заполняют таблицу. Затем обмениваются работами, проверяют по образцу и оценивают друг друга по пятибалльной системе.

№ п/п	Геометрическая прогрессия	Формулы
1	Определение	n=2, 3, 4, …)
2	Формула n первых членов	bn = b1q n-1
3	Сумма n первых членов	, q≠1
4	Характеристическое свойство

Оценки заносятся в лист взаимоконтроля.

Вид работы	Оценка	Ф.И. ученика	Ф.И. проверяющего
Теория
Тест

Учитель: зная эти формулы, можно решить много интересных задач.

III. Решение задач

на доске и в тетрадях учащихся. Один из учащихся выходит к доске, остальные работают в тетрадях.

1) Между числами 1 и  вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.

Решение. .

, .

Получим геометрическую прогрессию 1, , , .

, .

Ответ: , .

2) Найдите те значения переменной t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение. Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии должно выполняться равенство:

.

При t = 0 имеем 0, 0, 8. Это не геометрическая прогрессия. При t = имеем ; 2; 8. Это конечная геометрическая прогрессия.

Ответ: t =.

3) Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14. а трех последних 112.

Решение.

Решая полученную систему, находим, что b₁=2, q=2.

Имеем конечную геометрическую прогрессию 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

4) Решить уравнение

Решение. Последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем q = . По условию q ≠1 => х ≠1. Переформулируем задачу: сумма членов геометрической прогрессии равна 0. Найти х.

– не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -1.

IV. Самостоятельная работа по тестам (тексты раздать учащимся).

Вариант 1.

1. Найдите первый член геометрической прогрессии: … .

a) 1; б) -1; в) 28; г) .

2. Дана геометрическая прогрессия:1; ; … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного .

a) 5; б) 6; в) 7; г) нет такого номера.

3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, заданной формулой .

a)  ; б) ; в) ; г) .

4.Третий член геометрической прогрессии равен 2, а шестой равен 54. Найдите первый член прогрессии.

a) 1; б) 6; в) ; г) .

5. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого ее членов равна -20. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?

a) 126; б) -42; в) -44; г) -48.

Вариант 2.

1. Найдите первый член геометрической прогрессии: 8, -4, … .

      a) 1; б) -1; в) 28; г) .

2. Дана геометрическая прогрессия:8; -4; … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного .

a) 8; б) 9; в) 7; г) нет такого номера.

3. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой.

a) 511; б)1023; в) ; г) .

4. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 6, а знаменатель прогрессии равен 2. Найдите первый член прогрессии.

      a) 1; б) -1; в) 2; г) 4.

5. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна -6, а разность между третьим и вторым её членами равна 12. Чему равна сумма первых пяти членов прогрессии?

      a) -27; б) -33; в) 93; г) -93.

Ответы к тестам

	1	2	3	4	5
Вариант 1	а	б	г	г	б
Вариант 2	б	б	г	а	а

Учащиеся обмениваются тетрадями в парах, проверяют и выставляют оценки в листы взаимоконтроля.

V. Немного истории.

Учитель: Ребята! Мы изучили геометрическую прогрессию. При q=1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией. Если q>1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах n получаются числа – гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, … . Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2, за третью – еще в 2 раза больше, т.е. 4, за четвертую – еще в 2 раза больше и т.д. В итоге общее число зерен на 64 клетках шахматной доски составило число 18 446 744 073 709 551 615 (18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615). Если бы царю удалось засеять пшеницей всю поверхность Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктидой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, за 5 лет он смог бы рассчитаться.

VI. Подводится итог урока,

выставляются оценки.

VII. Задание на дом.

Домашняя контрольная работа по учебнику Мордковича А.Г., Александровой Л.А. и др. «Алгебра. 9 класс».