Проблема решения текстовых задач актуальна в начальной школе. Статьи автора учебников «Математики» по системе Л.В.Занкова А.Г. Ванцяна в журнале «Практика образования» заставили меня ещё раз задуматься, что я как учитель могу дать своим учащимся для совершенствования навыка решать текстовые задачи. Прежде всего, учитель – это практик, поэтому я наметила практическую цель: организовать на уроках математики аналитическую деятельность, результатом которой будет создание алгоритма по решению задачи.
С виду это может показаться легко и просто, но попробуйте уловить мою мысль. Наш алгоритм – это не какая-то раз и навсегда застывшая модель, навязанная детям учителем. Во-первых, алгоритм создаётся постепенно, в творческом совместном поиске учителя и учащихся. Во-вторых, его можно от урока к уроку совершенствовать, уточнять. И, наконец, в-третьих, этот алгоритм становится общим проектом, в который дети с удовольствием включаются, ждут его продолжения и радуются малейшим уточнениям, которые им приходят в голову на протяжении большого количества уроков.
Опорой в моих рассуждениях, прежде всего, были такие источники:
- Дьердь Пойа «Как решать задачу», М., 1961г.
- И.И.Аргинская, Е.В.Вороницина «Особенности обучения младших школьников математике», лекции (курс я закончила, имею удостоверение)
- Ванцян А.Г. «Следуя принципам системы», «Эти непростые «простые задачи»», «Математика. Новый взгляд» журнал «Практика образования», 2006/3, 2007/1, 2009/3.
Проанализировав методическую литературу по решению текстовых задач, мною были сделаны некоторые теоретические выводы и поставлены практические задачи:
1) совершенствовать необходимые мыслительные
операции (анализ, синтез, сравнение);
2) совершенствовать умение различать условие и
вопрос задачи, данные и искомое, простую и
сложную задачи, прямую и обратную.
3) обучить сравнению задач, сходных по сюжету, но
различных по математическому содержанию
(выделение обобщённых типов задач, их
классификация);
4) обучить преобразованию задач, приводящему к их
упрощению или усложнению;
5) составить алгоритм действий по решению сложных
задач.
Для этого на листе ватмана было записано слово «АЛГОРИТМ» и предложено детям высказывать свои мнения о ходе решения задачи. Сразу оговорим, что данный лист постоянно висел на доске, и на нём на протяжении всех четвертей велась черновая работа маркером по составлению алгоритма решения текстовых задач. Параллельно с составлением алгоритма на уроках математики были обозначены дополнительные задачи урока, направленные на организацию аналитической деятельности на уроках:
1. Совершенствовать необходимые мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение)
Фрагмент урока. Задача №100 (с. 57) (И.И.Аргинская, Е.И.Ивановская, С.Н.Кормишина «Математика 4 класс, издательство «Фёдоров», 2008)
– Прочитай задачи, сравни. Объясни, какая из них
сложнее.
– Сделай к задачам чертежи. Реши задачи. Твоё
предположение оказалось верным?
– Подумай, с какого момента решение второй
задачи стало похожим на решение первой.
– Вернись к решению задачи №76. На какую из данных
задач она похожа? Сравнение задач с близким
сюжетом и математическим содержанием
продолжается на других уроках. Для этого
используются задачи №№ 119, 130, 138.
2) Совершенствовать умение различать условие и вопрос задачи, данные и искомое, простую и сложную задачи, прямую и обратную
Здесь важно повторить с учащимися, что любая задача состоит из условия задачи и вопроса задачи.
Фрагмент урока. Задача № 123 (с. 70)
– Прочитай текст. Это задача? Объясни ответ.
(Здесь отсутствует вопрос задачи)
– Составь и запиши как можно больше вопросов,
которые можно поставить к этому условию так,
чтобы для решения каждой получившейся задачи
потребовались все данные. Реши новые задачи
– Поставь такой вопрос, чтобы в условии
оказались лишние данные. Запиши задачу, исключив
эти лишние данные и реши эту задачу.
Нужно также рассмотреть те задачи, в которых
вопрос задачи расположен не в конце текста, а в
середине или вначале. Для этого рассматриваются
задачи №№ 4 (с.103), 200 (с.114), 221 (с.128)
В ряде задач вопрос ставится так, что детям очень трудно понять, какой ответ надо искать. Нужно приучить детей к тому, что задача – это упражнение, которое выполняется, т.е. решается не только посредством вычисления, но и умозаключения. Поэтому в нашем с учениками алгоритме мы большое внимание уделяем именно вопросу задачи и обращаемся к нему три раза. В этом помогло решение задач №№ 193, 247, 293, 333.
Важным в работе по решению задач является различение обратной задачи от задач, связанных с исходной задачей общей фабулой, но тем не менее таковой не являющейся. Наиболее часто встречающаяся ошибка: составление задачи, обратной только к части исходной составной. Такие ошибки свидетельствуют о том, что представление школьников об обратных задачах весьма поверхностное. За обратную задачу они принимают любую задачу, которая каким-либо образом перекликается с данной. Эффективным способом преодоления этой ситуации является выбор обратной задачи среди нескольких сходных с последующим объяснением причин сделанного выбора. Одним из основных ориентиров такого выбора может служить количество действий, необходимых для решения исходной и обратной задачи.
Фрагмент урока. Задача № 107.
– Сравни задачи и реши их.
– Сравни решения задач. Что ты можешь о них
сказать?
– Как ты считаешь: эти задачи решаются одинаково?
– Составь к данным задачам обратные. Среди них
есть такие, которые тоже решаются одинаково? Если
есть, реши такие задачи.
Решение задач №№ 112, 130, 187.
3) Выделение обобщённых типов задач, их классификация
Классификация задач по сходству их математического содержания проводится на всём протяжении эксперимента. К 4-му классу дети накопили большой опыт работы с задачами, их сравнения по признакам сходства и различия. Это создаёт условия для самостоятельного установления того, что многие задачи различны по сюжетам, но одинаковы по заложенным в них отношениям. В силу этого многие задачи решаются одинаково. Таким образом, сравнение задач продолжает оставаться одним из важнейших приёмов работы по совершенствованию навыка решения текстовых задач. Теперь это сравнение носит другой характер: с одной стороны, сравниваются задачи, идентичные по математическому содержанию, но различные по сюжету, а с другой стороны, близкие по математическому содержанию, и по сюжету, но разного уровня трудности.
Решение задач №№ 263, 267, 288.
Фрагмент урока. Задача № 8 (с.42)
– Составь задачу, которая будет решаться так
же, как первая из данных.
– Преобразуй свою задачу так, чтобы она решалась
так же, как вторая из данных.
Результатом такой работы может быть классификация типов задач:
- нахождение остатка;
- нахождение неизвестных по результатам действий;
- нахождение части, дроби;
- приведение к единице;
- нахождение площади, периметра, объёма;
- «Скорость. Время. Расстояние»: встречное движение, движение в противоположные стороны, в одну сторону);
- «Цена. Количество. Стоимость»;
- сравнение (на сколько ...?, во сколько раз…?);
- сравнение по двум разностям и т.д.
В конечном итоге был получен такой алгоритм решения задачи.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- Прочитай задачу внимательно (столько раз пока не будешь готов её пересказать)
- Найди вопрос задачи
- Определи предварительно тип задачи (простая, составная, комбинированная)
- Составь краткое условие опорные слова, чертёж, схема, рисунок, отрезки, таблица)
- Уточни вопрос
- Анализ задачи от вопроса и составление плана решения (устно или письменно в виде алгоритма с ветвлениями)
- Выбор способа решения: арифметический – по действиям, алгебраический – уравнением, геометрический – отрезки, логический – рассуждение, практический – подбором, комбинированный (смешанный)
- Запись решения с объяснением (с вопросами, выражением, по пунктам)
- Проверка полученного ответа (подстановка в условие, прикидка реальности)
- Уточнить вопрос
- Запись ответа
К аналитической деятельности на уроках математики относится и работа по поиску различных способов решения задач. Причём каждый раз разъясняю детям отличие способов решения задач от способов записи этих решений. Для этого ввела понятие «запись действий задачи по пунктам», когда, например, два действия записываются одним выражением, а затем идёт ещё одно или несколько действий в решении задачи.
Арифметический способ решения
Задача № 179.
На остекление окон одного дома пошло 486 стёкол, а другого дома с такими же окнами – 432 стекла. Во втором доме на 9 окон меньше, чем в первом. Сколько всего остеклили окон в двух домах?
I способ.
1) 486 – 432 = 54 (стекла) разница в стёклах
2) 54 : 9 = 6 (стёкол) для одного окна
3) 486 : 6 = 81 (окно) в I доме
4) 432 : 6 = 72 (окна) во II доме
5) 81 + 72 = 153 (окна) в двух домах
Ответ: 153 окна остеклили в двух домах.
II способ.
1) 486 – 432 = 54 (стекла) разница в стёклах
2) 54 : 9 = 6 (стёкол) для одного окна
3) 486 + 432 = 918 (стёкол) всего
4) 918: 6 = 153 (окна) в двух домах
Ответ: 153 окна остеклили в двух домах.
Вывод: наиболее рациональным является II способ.
Алгебраический способ решения
Задача № 439.
При посещении зоопарка купили 78 детских и 16 взрослых билетов и заплатили за них 1260 рублей. Детский билет в 3 раза дешевле взрослого. Какова цена детского и взрослого билета?
Решение.
Пусть детский билет стоит х рублей, тогда взрослый билет 3-х рублей. Составим равенство по условию задачи 6
78х + 16 • 3х = 1260
78х + 48х = 1260
126х = 1260
х = 1260 : 126
х = 10 (рублей) стоит детский билет
Стоимость взрослого билета находим арифметическим способом:
10 • 3 = 30 (рублей) стоит билет для взрослого
Ответ: 10 рублей; 30 рублей.
Геометрический способ решения
Задача № 440
Собака погналась за кроликом, находящимся от неё в 150 футах (фут – мера длины, равная средней длине стопы человека). Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик делает прыжок в 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?
Чтобы нагляднее показать, как собака догоняет кролика, используем геометрический способ решения (приём отрезков).
Получаем, что скорость сближения равна 2 прыжкам. Далее применяем арифметический способ решения: 150 : 2 = 75 (прыжков)
Ответ: 75 прыжков должна сделать собака.
Логический способ решения
Задача
Катя, Маша, Нина и Лиза читают разные книги. В
одной книге стихи о природе, в другой рассказы о
спорте, в третьей – фантастический роман, в
четвёртой – рассказы о природе. Нина и Катя
читают о природе, Нина и Лиза – рассказы. Какую
книгу читает каждая девочка?
Этот способ хорошо представить в виде таблицы.
| Стихи о природе | Рассказы о спорте |
Фантастический роман |
Рассказы о природе |
|
| Катя | + | |||
| Маша | + | |||
| Нина | + | |||
| Лиза | + |
Практический способ решения (подбором)
Задача № 383
«Сколько лет твоему отцу?» – спросили у Пети. Он
ответил так: «Я втрое моложе папы, но зато я втрое
старше своей сестры, а папе и сестре вместе 50
лет». Сколько лет отцу?
Допустим, что сыну 10 лет, тогда отцу 30 лет, а
сестре соответственно 3 года. В сумме 27 + 3 не
получается 50. как надо по условию, поэтому наше
предположение неверно. При первичном подборе
чисел уже становится понятно, что все три
возраста должны быть кратны трём, значит, решение
задачи сводится к тому, чтобы подобрать такие
числа, которые бы получались путём умножения
каждого следующего на 3 и в сумме первое и второе
равнялось бы 50. Это числа: 5, 15, 45.
Ответ: 45 лет отцу.
Эту задачу можно решить алгебраическим способом:
Пусть сестре будет х лет, тогда отцу 9х лет. Из условия задачи получаем равенство:
х + 9х = 50
10х = 50
х = 50 : 10
х = 5 (лет) сестре
Отсюда, отцу 5 • 9 = 45 (лет)
Эту задачу можно решить арифметическим способом:
- 3 • 3 = 9 (раз) отец старше дочери
- 1 + 9 = 10 (частей) составляет возраст отца и дочери вместе
- 50 : 10 = 5 (лет) одна часть
- 5 • 9 = 45 (лет) отцу
Решение последней задачи показывает, что задачи чаще всего решаются смешанными способами решения. Решение задач разными способами, во-первых, развивает логическое мышление, во-вторых, помогает лучше понимать сами эти способы решения, опираясь на индивидуальные особенности мышления каждого школьника. (Одному более понятен этот способ, а другому тот способ). Результат такой работы отражён в алгоритме под пунктом №7.
По мере внедрения алгоритма решения задач, количество учащихся, получающих положительные баллы при решении задач, стало увеличиваться.
Контрольная работа, проведённая в апреле показала, что обучающиеся достаточно хорошо владеют навыком решать текстовые задачи. Количество учащихся, имеющих 4-5 баллов, увеличилось на 36%. Количество учащихся, имеющих 2 балла, уменьшилось на 12%.
Перспективу разработки данной темы в дальнейшем можно обозначить такими проблемами:
– обучение моделированию задач, т.к. текстовая
задача – это «словесная модель заданной
ситуации», а процесс решения задачи «процесс
преобразования модели» (по Н.Ф.Талызиной);
– формирование психических процессов (мышление,
воображение, произвольная память, внимание);
– формирование личностных качеств (самооценка,
самостоятельность, самоконтроль,
инициативность, творчество);
– формирование познавательных интересов через
развитие исследовательских навыков (из книги
И.Л.Кустовой «Математика 1-4 классы. Обучение
решению текстовых задач, Волгоград, «Учитель», 2009
г.)