При построении графиков линейных функций y=kx+b в школьном курсе алгебры обычно составляется таблица, связывающая выбранные значения х и соответствующие им значения у.
Этот подход прост для освоения, привычен и достаточно удобен тем, что дает возможность ученику строить графики даже в тех случаях, когда нет ясного понимания, что такое линейная функция и что отражает ее график. Задаются числа, соответствующие значениям х, считаются по формуле соответствующие значения у, на координатной плоскости находятся точки с координатами х и y и соединяются между собой, образуя, как оказывается, прямую.
На своих уроках мы предлагаем ученикам освоить и другой способ построения графиков линейных функций, который представляет собой более содержательный и смыслово нагруженный алгоритм, а также дает возможность непосредственно перейти от построения графиков к их чтению и использованию в решении задач и исследовании функций.
Начинается освоение нового алгоритма с анализа уже построенных табличным способом простейших линейных функций.
Рассмотрим график функции y=x .
Рисунок 1
Будем двигаться по точкам этого графика, начиная с точки (0,0) начала координат, через которую он проходит.
Видим, что при сдвиге на одну единицу вправо по оси Х, значение функции у=х вырастает также на единицу. За каждый шаг вправо на единицу (то есть в направлении оси абсцисс) график поднимается вверх на единицу.
Таким образом, получается характерная “лесенка” ступенек, формирующих график функции: вправо на 1 –вверх на 1 и т.д.
Рисунок 2
Теперь рассмотрим график функции у=2х.
Рисунок 3
Здесь видим, что при сдвиге на одну единицу вправо по оси Х, по оси Y значение функции вырастает уже не на одну единицу, как в предыдущем примере, а на две единицы вверх. И “лесенка” получается такая: вправо на 1 - вверх на 2.
Рисунок 4
Если мы рассмотрим график функции у= -х , то увидим, что при сдвиге по оси Х на едиицу вправо, значение по Yна одну единицу уже не растет, а падает, то есть “лесенка” опускается.
Рисунок 5
Анализ приведенных графиков позволяет понять, что для построения графика линейной функции каждый раз достаточно построить несколько “ступенек” соответствующей графической “лесенки” и провести прямую.
Рисунок 6
Общая характеристика графической “лесенки” и ее особенностей:
- “Лесенка” всегда идет вправо (в сторону роста х);
- Если в формуле, задающей функцию y=kx+b коэффициент k>0, то “лесенка” идет вверх;
- Если k<0, то “лесенка” идет вниз;
- Высота каждой ступеньки одинакова и определяется числовым значением коэффициента k (чем k больше, тем выше ступенька);
- За каждую единицу по х функция вырастает по у на k, то
- Есть k – это скорость роста функции;
- Скорость роста линейной функции не меняется, ступеньки нашей “лесенки” всегда одной высоты, именно поэтому функция и представляет собой прямую.
До сих пор мы рассматривали построение графиков функций для случая y=kx и b=0. Теперь рассмотрим общий случай, где y=kx+b. Видно, что точки этого графика получаются из точек графика y=kx с помощью поднятия каждой точки на величину b.
Рисунок 7
Таким образом, общий алгоритм построения графика линейной функции y=kx+b состоит в следующем:
ШАГ1 – на оси ординат Y (Х=0) находим точку y=b,
с которой начем построение;
ШАГ2 – делаем шаг вправо по оси абсцисс Х и k
шагов вверх (или вниз, в зависимости от знака k),
отмечаем точку графика;
ШАГ3 – (необязательный!) повторяем ШАГ2 столько
раз, сколько необходимо для удобного построения;
ШАГ4 – соединяя построенные точки, получаем
прямую – график искомой линейной функции.
Рисунок 8
Данный алгоритм делает совершено несложным процесс чтения графиков, задания по изображению прямой ее формулы, хотя при обычном подходе к построению линейных функций, это вызывает серьезные затруднения учащихся.
Чтение графиков начинаем с оси ординат. Изображенный график пересекается с ней в точке, равной значению коэффициента b: y=b при x=0.
Затем строим одну или две (для исключения ошибки) ступеньки лесенки под графиком и определяем числовое значение и знак коэффициента k.
Рисунок 9
В завершении несколько слов можно сказать об особенностях построения и чтения графиков функций с коэффициентом | k|<1. За 1 шаг вправо функция вырастает на дробное число, меньшее 1, что часто довольно неудобно для построения и совсем затруднительно для прочтения графика. Чтобы избежать этого неудобства, мы предлагаем ученикам сдвигаться по оси Х вправо не на 1, а на столько шагов, чтобы по оси Y можно было сделать целое число шагов.
Например, если k = 2/3, то ступеньку получаем, делая 3 шага вправо и 2 вверх.
Рисунок 10
Наш опыт показывает, что изложенный способ построения и чтения графиков линейных функций легко и достаточно быстро усваивается. Учащиеся начинают отличать по графику возрастающие и убывающие функции, определять графики с большей, меньшей или одинаковой скоростью роста функции. Эти навыки, помимо владения названной темой, готовят учащихся к восприятию понятия производной, к исследованию и анализу более сложных функциональных зависимостей.