Урок математики на тему "Алгоритм построения графиков линейных функций"

Разделы: Математика


При построении графиков линейных функций y=kx+b в школьном курсе алгебры обычно составляется таблица, связывающая выбранные значения х и соответствующие им значения у.

Этот подход прост для освоения, привычен и достаточно удобен тем, что дает возможность ученику строить графики даже в тех случаях, когда нет ясного понимания, что такое линейная функция и что отражает ее график. Задаются числа, соответствующие значениям х, считаются по формуле соответствующие значения у, на координатной плоскости находятся точки с координатами х и y и соединяются между собой, образуя, как оказывается, прямую.

На своих уроках мы предлагаем ученикам освоить и другой способ построения графиков линейных функций, который представляет собой более содержательный и смыслово нагруженный алгоритм, а также дает возможность непосредственно перейти от построения графиков к их чтению и использованию в решении задач и исследовании функций.

Начинается освоение нового алгоритма с анализа уже построенных табличным способом простейших линейных функций.

Рассмотрим график функции y=x .

Рисунок 1

Будем двигаться по точкам этого графика, начиная с точки (0,0) начала координат, через которую он проходит.

Видим, что при сдвиге на одну единицу вправо по оси Х, значение функции у=х вырастает также на единицу. За каждый шаг вправо на единицу (то есть в направлении оси абсцисс) график поднимается вверх на единицу.

Таким образом, получается характерная “лесенка” ступенек, формирующих график функции: вправо на 1 –вверх на 1 и т.д.

Рисунок 2

Теперь рассмотрим график функции у=2х.

Рисунок 3

Здесь видим, что при сдвиге на одну единицу вправо по оси Х, по оси Y значение функции вырастает уже не на одну единицу, как в предыдущем примере, а на две единицы вверх. И “лесенка” получается такая: вправо на 1 - вверх на 2.

Рисунок 4

Если мы рассмотрим график функции у= -х , то увидим, что при сдвиге по оси Х на едиицу вправо, значение по Yна одну единицу уже не растет, а падает, то есть “лесенка” опускается.

Рисунок 5

Анализ приведенных графиков позволяет понять, что для построения графика линейной функции каждый раз достаточно построить несколько “ступенек” соответствующей графической “лесенки” и провести прямую.

Рисунок 6

Общая характеристика графической “лесенки” и ее особенностей:

  • “Лесенка” всегда идет вправо (в сторону роста х);
  • Если в формуле, задающей функцию y=kx+b коэффициент k>0, то “лесенка” идет вверх;
  • Если k<0, то “лесенка” идет вниз;
  • Высота каждой ступеньки одинакова и определяется числовым значением коэффициента k (чем k больше, тем выше ступенька);
  • За каждую единицу по х функция вырастает по у на k, то
  • Есть k – это скорость роста функции;
  • Скорость роста линейной функции не меняется, ступеньки нашей “лесенки” всегда одной высоты, именно поэтому функция и представляет собой прямую.

До сих пор мы рассматривали построение графиков функций для случая y=kx и b=0. Теперь рассмотрим общий случай, где y=kx+b. Видно, что точки этого графика получаются из точек графика y=kx с помощью поднятия каждой точки на величину b.

Рисунок 7

Таким образом, общий алгоритм построения графика линейной функции y=kx+b состоит в следующем:

ШАГ1 – на оси ординат Y (Х=0) находим точку y=b, с которой начем построение;
ШАГ2 – делаем шаг вправо по оси абсцисс Х и k шагов вверх (или вниз, в зависимости от знака k), отмечаем точку графика;
ШАГ3 – (необязательный!) повторяем ШАГ2 столько раз, сколько необходимо для удобного построения;
ШАГ4 – соединяя построенные точки, получаем прямую – график искомой линейной функции.

Рисунок 8

Данный алгоритм делает совершено несложным процесс чтения графиков, задания по изображению прямой ее формулы, хотя при обычном подходе к построению линейных функций, это вызывает серьезные затруднения учащихся.

Чтение графиков начинаем с оси ординат. Изображенный график пересекается с ней в точке, равной значению коэффициента b: y=b при x=0.

Затем строим одну или две (для исключения ошибки) ступеньки лесенки под графиком и определяем числовое значение и знак коэффициента k.

Рисунок 9

В завершении несколько слов можно сказать об особенностях построения и чтения графиков функций с коэффициентом | k|<1. За 1 шаг вправо функция вырастает на дробное число, меньшее 1, что часто довольно неудобно для построения и совсем затруднительно для прочтения графика. Чтобы избежать этого неудобства, мы предлагаем ученикам сдвигаться по оси Х вправо не на 1, а на столько шагов, чтобы по оси Y можно было сделать целое число шагов.

Например, если k = 2/3, то ступеньку получаем, делая 3 шага вправо и 2 вверх.

Рисунок 10

Наш опыт показывает, что изложенный способ построения и чтения графиков линейных функций легко и достаточно быстро усваивается. Учащиеся начинают отличать по графику возрастающие и убывающие функции, определять графики с большей, меньшей или одинаковой скоростью роста функции. Эти навыки, помимо владения названной темой, готовят учащихся к восприятию понятия производной, к исследованию и анализу более сложных функциональных зависимостей.