Урок математики по теме "Производная и ее применение в различных областях науки"

Разделы: Математика

Цели урока:

Общеобразовательные

  1. Систематизация и углубление знаний по теме.
  2. Формирование умения комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия.

Развивающие

  1. Содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение.
  2. Формирование активной творческой личности.

Воспитательные

  1. Воспитание интереса к предмету.
  2. Формирование у учащихся понятий о научной организации труда.

Оборудование:

  1. Мультимедийный проектор.
  2. Презентации учащихся.
  3. Портреты ученых.

Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли»

Ход урока

1. Исторические сведения.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И.Ньютон в основном опирался на физические представления о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой величины. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницам, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые. Большую роль в области дифференциального исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник "Дифференциальное исчисление" Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не было должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

(приложение 1)

2. Вводное слово учителя:

Вы уже накопили некоторый опыт в решении задач по теме «Производная». Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры производных:

1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t, скорость движения в данный момент времени tесть производная от пути s по времени t, т. е.

V= s´(t);

2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его φ есть функция времени t:

φ=f(t); 

угловая скорость в данный момент времени tесть производная от угла поворота по времени, т. е.

ω= φ´(t)

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени tесть производная от температуры Т по времени t, т. е. T´(t)

4) теплоемкость С для данной температуры tесть производная от количества теплоты Q по температуре t,

C= Q´(t)

5) при нагревании стержня его удлинение ∆l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры ∆t. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ∆l/∆tлишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+∆t]. Коэффициент линейного расширения, а при данном значении температуры t ,есть производная от длины l по температуре t,

a= l´(t) и т.д.

Весьма важно уметь переформировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.

3. Применение производной в разных областях науки.

А сейчас мы ознакомимся с работами творческих групп, которые провели самостоятельные исследования по теме. Еще раз убедимся в важности роли производной в исследовании процессов окружающего мира, покажем практическую необходимость и теоретическую значимость темы "Производная".

Первая группа учащихся работала над темой "Производная и ее применение в алгебре, геометрии ", рассмотрели решение задач с применением в области математики.

(Приложение 2)

Вторая группа работала над темой "Производная в биологии, химии и географии". Учащиеся покажут, как с помощью производной решаются задачи по биологии и химии, а также покажут решение вопроса о численности населения на ограниченной территории в данный момент времени.

(Приложение 3)

Третья группа рассмотрела материал из области физики и продемонстрирует, как решаются задачи с применением производной по темам "Количество теплоты" и "Электромагнетизм", а так же укажет на геометрический смысл магнитного потока.

(Приложение 4)

Обсуждение и оценка учащихся работ творческих групп .

4. Решение задачи.

Задача. На какой высоте нужно повесить электрический фонарь в центре площади, чтобы осветить, возможно, сильней края площади?

Эта задача аналогична тем, которые мы увидели в презентациях творческих групп, но она взята из обыденной жизни. Чтобы ее решить, надо вспомнить из курса физики как освещенность плоскости зависит от источника света.

- Освещенность плоскости обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения, т.е.

I = kcosj / r2.

Геометрическая интерпретация задачи: 

 

Введем функцию f(x) = k ·cosj /(x2 + r2 ), где cosj =x /(x2 + r2)1/2 

Тогда, f(x) = kx /(x2 + r2 )3/2 

Исследуем функцию на наибольшее значение. 

f´ (x) = k(r2 - 2x )/(x2 + r2 )5/2 ;f (x) =0;

r2= 2x ; x = r2/2 ~ 0,7r.

Критическое осмысление полученного результата: фонари на улице, если расстояние между ними 30м (r=15), целесообразно повесить на высоту 15·0,7=10,5(м).

5. Домашнее задание.

Сделать расчет задачи освещения настольной лампы над вашим письменном столом и оценить правильность освещения вашего стола.

6. Вывод.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.