Цели:
- образовательные: продолжать учить детей находить наибольшее количество комбинаций различимых и неразличимых предметов, применять при этом правила умножения, сложения, деления, моделировать задачи, познакомить с новым видом выборки (неупорядоченной),
- развивающие: развивать комбинаторное мышление, внимание, умение применять свои знания в новых условиях, умение “видеть разное в одинаковом и одинаковое в разном” (Бунимович Е.А., Булычев В.А. “Первое сентября” № 18, 2007), логическое мышление;
- воспитательные: воспитывать интерес к математике.
Тип урока: урок формирования знаний.
Материалы и оборудование: цветные магниты, шары разного размера, цвета, материала изготовления, пять моделей (рисунок 1), состоящие из:
- Четырех магнитов разного цвета, одинакового размера.
- Пяти одинаковых по свойствам магнитов, но пронумерованных разными числами.
- Четырех магнитов, два из которых одинакового цвета (красных), а два других различного цвета (синий, зелёный)
- Четырех магнитов одинакового цвета (синие), три из которых имеют одинаковый размер (большие), а один отличается размером ( маленький).
- Пять неразличимых по свойствам магнитов.
- Опыт “Магнитодром” (рисунок 2), раздаточный дидактический материал на каждого ученика, презентация урока.
План урока
1. Организационный момент.
2. Постановка целей урока.
3. Проверка домашнего задания (№ 807, 725 учебник
Виленкина Математика 5 класс, 2007 год)
4. Актуализация знаний.
4.1. Воспроизведение ранее полученных теоретических знаний (с помощью вспомогательных моделей).
4.2. Применение этих знаний при решении заданий устного счета с различимыми шарами (разного цвета, размера, пронумерованных разными числами), неразличимыми шарами (непронумерованных, обладающих одинаковыми свойствами).
4.3. Решение задач на нахождение наибольшего количества комбинаций выбора различимых предметов с помощью построенных моделей.
5. Введение новых знаний.
5.1. Демонстрация опыта “Магнитодром”.
5.2. Установление связи способа решения задач с упорядоченностью выборки предметов.
6. Закрепление полученных знаний.
Решение задач № 1750 и № 3, 4 с помощью моделей.
7. Подведение итогов урока.
8. Домашнее задание и его инструктаж.
Ход урока
Учитель: На прошлых уроках мы проделали серии опытов и установили способы нахождения наибольшего количества комбинаций размещения и выборки различимых и неразличимых предметов, строили модели, с помощью которых решали задачи.
Сегодня вы познакомитесь с новым типом выборки предметов. Выбирать способы решения задач также будете с помощью моделей. Но сначала проверим домашнее задание. (Проверка домашнего задания.)
Вспомним основные определения, правила, которые мы изучили ранее.
1. Какие предметы называются различимыми?
Ответы детей: предметы называются различимыми, если они отличаются какими – либо свойствами. Например, цветом, размером, материалом изготовления, или они пронумерованы.
2. Назовите номера моделей, в которых все предметы различимы.
Ответы детей: № 1 – предметы различимы по цвету, № 2 – предметы пронумерованы.
3. Какие предметы называются неразличимыми?
Ответы детей: предметы называются неразличимыми. Если они обладают одинаковыми свойствами.
4. Назовите номера моделей, в которых есть группы неразличимых предметов.
Ответы детей: в модели № 3 – есть группа предметов неразличимых по цвету (оба красные), в модели № 4 – есть группа неразличимых предметов по размеру (три больших шара), в модели № 5 все шары неразличимые по цвету, размеру.
5. Какие методы используются при решении задач на нахождение количества комбинаций из этих предметов?
6. Как найти наибольшее количество комбинаций из различимых предметов, если они в комбинации не повторяются?
(Gовторяются?)
Учащиеся формулируют правила умножения и сложения.
7. С помощью какого правила находится количество комбинаций, если в нее входят группы различимых и неразличимых предметов? Ученики формулируют правило деления.
При ответе на вопросы обращается внимание обучающихся на 5 моделей из цветных магнитов (рис. 1).
Учитель: Иногда предметы обладают такими свойствами, что их нельзя разместить на определенное место в комбинации. Назовите такой элемент в представленных моделях.
Ответы учеников: во второй модели есть элемент под № 0. Если необходимо составить числа из набора цифр, в который входит цифра 0, то эту цифру нельзя поставить на первое место в числе.
Учитель: Перейдем к устному счету нахождения наибольшего количества комбинаций из различимых и неразличимых предметов. (Детям предлагается найти наибольшее количество комбинаций размещения четырех шаров на четыре места без повторения и трех шаров на два места с повторением в этих пяти моделях. Учащиеся комментируют способы нахождения наибольшего количества комбинаций – правила умножения и деления. После комментарий рядом с моделями вывешиваются таблицы с надписями “Правило умножения”, “Правило деления”)
Приступим к решению задач по вариантам.
| I вариант | II вариант |
№1. Найдите наибольшее число способов выбора из 6 участников спортивных соревнований: |
|
| четверых на первый, второй, третий, четвертый этапы эстафеты, по бегу, или одного на бег с препятствиями. | троих: капитана, защитника,нападающего для игры, в волейбол и одного помощника судьи. |
В ходе решений задач и их комментарий учащиеся определяют:
1. Различимость предметов.
2. Упорядоченность выбора.
Для решения этой задачи ученики с помощью цветных шаров или цветных магнитов выстраивают модели условия задач, находят сходство с одной из пяти моделей. Выбирают способ решения в соответствии с построенной моделью.
Для решения задачи первого варианта выстраивается следующая модель:
– выбирается 6 участников, они все различимы, значит, в модели используем 6 разных цветных магнитов (можно взять различные по цвету, по размеру или пронумерованные разными числами)
Необходимо выбрать четырех, значит, имеется четыре места. Выбор спортсменов происходит упорядоченно, то есть порядок их выбора “важен”. Построенная модель имеет сходство с моделью № 2. Количество комбинаций для второй модели находится с помощью правила умножения: 6 • 5 • 4 • 3 = 360. Кроме этого в этой задаче может выбираться один на бег с препятствиями. Из шести различимых спортсменов выбирается один. Количество комбинаций такого выбора 6. В итоге полученные результаты необходимо сложить. Ответ: 366 способов.
При решении задачи второго варианта применяется та же модель и способ нахождения количества комбинаций выбора.
Важно заострить внимание детей на том, что выбор происходит упорядоченно, то есть порядок выбора предметов “важен”.
Учитель: Всегда ли, выбирая или размещая неразличимые предметы, мы получаем одну и ту же комбинацию?
Обратимся к опыту “Магнитодром” (Рис. 2)
 |
 |
Рис. 2. Опыт Магнитодром
– Посмотрите, на обоих магнитодромах находятся 10 одинаковых по своим свойствам стальных шаров, то есть они неразличимы. Но первый магнитодром подействовал на них так, что шары сложились друг за другом, образуя пирамиду, а на втором магнитодроме шары “вытянулись” в линию на верхней площадке. Можно ли считать, что получилась одна и та же комбинация?
Ответы детей: Нет.
Учитель: А все шары одинаковы, неразличимы. В чем же дело? (Ответы детей).
– Оказывается, на определение способа нахождения наибольшего количества комбинаций влияют не только свойства предметов, но и порядок их выбора или размещения. В некоторых задачах именно порядок следования предметов является главным фактом, определяющим способ решения задачи.
Решим задачу № 1750 из учебника ( Н. Я. Виленкин Математика-5, 2007 год), построив ее модель.
Задача 1750.
В классе 7 человек хорошо умеют плавать.
Сколькими способами из них можно составить
команду из трех человек для участия в школьных
соревнованиях?
При решении задачи выстраивается модель с помощью разноцветных магнитов, так как “предметы” - спортсмены различимы.
Учитель: В этой задаче свойства “предметов” – ребят отходят на дальний план, а на передний выступает неупорядоченность выбора, поэтому внешне различимые “предметы” – участники соревнований “приобретают свойство неразличимости”.
Поэтому в выстроенной модели три разноцветных магнита заменяются на магниты одинакового цвета. Ученики сличают построенную модель с моделями на доске, в число которых входят группы неразличимых предметов (№ 3, № 4) и выбирают способ решения – правило деления.
Рис. 3. Модель для решения задачи № 1750.
Решение: 7 • 6 • 5 : 3! = 35 способов.
Ответ: 35 способов.
Далее фронтально разбирается задача № 3. Сильным учащимся предлагается решить задачу № 4.
№ 3.
Сколькими способами можно из 6 человек класса выбрать 2 на соревнования по волейболу и 3 на соревнования по футболу?
Аналогично выстраивается модель этой задачи с помощью цветных магнитов, в число которых входят неразличимые предметы. Для выбора на соревнования по волейболу два неразличимых магнита, для выбора на соревнования по футболу три неразличимых магнита.
Рис. 4. Модель для выбора на волейбол.
Рис. 5. Модель для выбора на футбол.
Решение.
Выбрать двоих на соревнования по волейболу можно 6 • 5 : 2! = 15 способами.
Выбрать троих на соревнования по футболу можно из оставшихся четверых ребят:
4 • 3 • 2 : 3! = 4 способа. Всего 15 + 4 = 19 способов.
Ответ: 19 способов.
№ 4.
В команде игры “Большие гонки” 10 российских спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать двоих на бой с быками, или всю команду на эстафету, или троих на финальный конкурс “Горки”?
Решение.
Аналогично выстраиваются модели из цветных магнитов. Получаем, что количество способов такого выбора равно:
10 9 : 2! + 1 + 10 • 9 • 8 : 3! = 45 + 1 + 120 = 166 способов.
Ответ: 166 способов.
Итог урока
- С каким новым типом выбора предметов мы познакомились на уроке?
- В каких случаях “различимые предметы приобретают свойство неразличимости”?
- С помощью какого правила находится количество комбинаций предметов в этом случае? Сформулируйте его.
Учитель отвечает на возникшие вопросы детей. Выставляются оценки.
Домашнее задание
№ 835,1728, 132 из учебника Математика-5. Н.Я. Виленкин.