Урок по теме "Логарифм, его свойства"

"Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь,
но не меньше обязательного".

Цели урока:

• знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества;
• уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении упражнений;
• познакомиться со свойствами логарифмов;
• научиться различать свойства логарифмов по их записи;
• научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;
• закрепить вычислительные навыки;
• продолжить работу над математической речью.
• формировать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;
• развивать умение выделять главное при работе с текстом;
• формировать самостоятельность мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;
• показать учащимся роль систематической работы по углублению и повышению прочности знаний, по культуре выполнения заданий;
• развивать творческие способности учащихся.

Базовые знания:

• определение показательной функции;
• свойства показательной функции;
• определение показательного уравнения, основные методы и приёмы решения показательных уравнений;

Тип урока: сообщение новых знаний.

Методы работы:

• проблемный;
• частично-поисковый.

Виды работ:

• индивидуальная;
• коллективная;
• индивидуально-коллективная;
• фронтальная.

Мотивация познавательной деятельности: на занятии необходимо предоставить учащимся возможность проявить сообразительность, смекалку в формировании навыков самостоятельной работы, работы с учебником, навыков самостоятельного добывания знаний.

Время проведения: 1,5 часа

Оборудование:

• таблица свойств логарифмов;
• текст «Из истории логарифмов»;
• плакаты;
• карточки-задания;
• обучающие карточки;
• набор тестов;
• сигнальные часы;
• ПК учителя, мультимедийный проектор;
• Презентация, содержащая материал для повторения и закрепления теоретических знаний, для отработки навыков практического применения теории к решению упражнений, создания проблемной ситуации, для самоконтроля, содержащая сведения из истории логарифмов  

План урока

1. Организационный момент. 1 мин.
2. Постановка цели. 1 мин.
3. Проверка ранее изученного материала 5 мин
4. Введение понятия логарифм.
   1. Определение логарифма. 5 мин
   2. Историческая справка 10 мин
   3. Логарифмическая линейка 10 мин
   4. Основное логарифмическое тождество. 10 мин
   5. Основные свойства логарифмов 10 мин
5. Обобщение и систематизация знаний. 7 мин .
6. Домашнее задание. 1 мин.
7. Творческое применение знаний, умений и навыков. 25 мин.
8. Подведение итогов. 5 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Постановка цели.

- Ребята, сегодня на уроке вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие, затем познакомимся со свойствами нового понятия; вы должны научиться различать эти свойства по их записи; научиться применять эти свойства при решении заданий.

Будьте собраны, внимательны и наблюдательны. Успехов!

3. Проверка ранее изученного материала. (слайды 1–2)

Учащимся предлагается определить тему урока, решив уравнения

2^х =; 3^х =; 5^х = ¹/₁₂₅; 2^х = ¹/₄;
2^х = 4; 3^х = 81; 7^х = ¹/₇; 3^х = ¹/₈₁

– Назовите новое понятие, с которым мы познакомимся:

З	М	Л	Г	Е	Р	Ф	О	И	А
5	– 4	2/3	– 3	– 2/7	2	– 1	1/2	4	– 2

4. Введение понятия логарифм. (слайды 3,4)

– Тема нашего урока “Логарифм, его свойства”. Попробуйте найти корень уравнения 2^х = 5. Ответ данного уравнения мы можем записать с помощью нового понятия. Прочитайте текст слайда и запишите корень уравнения.

4.1. Определение логарифма (слайды 5–7)

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

1) log ₁₀ 100 = 2, т.к. 10² = 100 (определение логарифма и свойства степени),
2) log ₅ 5³ = 3, т.к. 5³ = 5³ (…),
3) log ₄ = –1, т.к. 4^–1 = (…).

4.2. Историческая справка (слайды 8–11)

Из истории логарифмов.

4.3. Логарифмическая линейка

Линейка, бабушка компьютера.

Из истории возникновения логарифма

4.4. Основное логарифмическое тождество (слайды 12-14)

В записи b=a^t число a является основанием степени, t - показателем, b - степенью. Число t - это показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Следовательно, t - это логарифм числа b по основанию a: t=log_ab.
Подставляя в равенстве t=log_ab выражение b в виде степени, получим еще одно тождество:

log_aa^t=t.

Можно сказать, что формулы a^t=b и t=log_ab равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, b и t (при a>0, a 1, b>0). Число t - произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.
Подставляя в равенство a^t=b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством:

 =b .

1) (3²)^log ₃ ⁷ = (3^log ₃ ⁷)² = 7² = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
2) 7 ^{2 log} ₇ ³ = (7 ^log ₇ ³)² = 3² = 9 (…),
3) 10 ^{3 log} ₁₀ ⁵ = (10 ^log ₁₀ ⁵)³ = 5³ = 125 (…),
4) 0,1 ^{2 log} _0,1 ¹⁰ = (0,1 ^log _0,1 ¹⁰)² = 10² = 100 (…).

4.5 Основные свойства логарифмов (слайд 15)

Вы замечательно справились с примерами. А теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:

а) log ₁₅3 + log ₁₅5 = …,
б) log ₁₅45 – log ₁₅3 = …,
в) log ₄8 =…,
г) 7 = … .

А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
Если у учащихся возникают затруднения, то задать вопрос: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: “Свойства степени”). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (Свойства логарифмов)

Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”.

Слайд 16

 

№	Название свойства логарифмов	Свойства логарифмов
1.	Логарифм единицы.	log a1 = 0, a > 0, a 1.
2.	Логарифм основания.	log aa = 1, a > 0, a 1.
3.	Логарифм произведения.	log a(xy) = log ax + log ay, a > 0, a 1, x > 0, y>0.
4.	Логарифм частного.	log a = log ax - log ay, a > 0, a 1, x > 0, y > 0.
5.	Логарифм степени.	log axn = n log ax, x > 0, a > 0, a 1, nR.
6.	Формула перехода к новому основанию	a > 0, a 1, b > 0, b 1, x > 0.

5. Обобщение и систематизация знаний.

Слайды 17-20

6. Домашнее задание. (слайд 23)

7. Творческое применение знаний, умений и навыков. (слайды 21 – 22)

Работа по карточкам

8. Подведение итогов.

Дайте ответы на вопросы

– Сформулируйте определение логарифма и выполните соответствующую запись.
– Какие виды логарифмов существуют? Выполните их запись.
– Запишите основное логарифмическое тождество.

– Происхождение слова “логарифм”. Кто изобрел логарифмы, в каком году, краткие сведения о них?
– Кто ввел логарифм с основанием е, который называют натуральным логарифмом?
– Из чего возникла практика использования логарифмов?
– Кто и когда изобрел первую логарифмическую линейку, первые таблицы логарифмов?