Решение текстовых задач на уроках математики в 5–6-м классах

Разделы: Математика

Значительная часть учителей, не задумывается над тем, для чего решается задача, а потому методика работы над текстовой задачей на уроке не согласуется с целями, поставленными при ее решении.

При обучении решению текстовых задач необходимо достигнуть двух взаимосвязанных целей - обучить:

  1. решению определенных видов задач;
  2. приемам поиска решения любой задачи.

Первая из них важна потому, что дает необходимый опыт и возможность выделить в решаемой задаче те подзадачи, решение которых известно.

Кроме того, при решении каждой новой задачи можно использовать те способы и приемы, которые давали прежде положительные результаты. Но на практике приходится встречаться с задачами, при поиске решения которых ни какой прежний опыт не помогает и требуется «открытие». При реализации идей развивающего обучения этот этап представляется даже более важным, так как помогает развитию таких когнитивных способностей, как умение проанализировать новую ситуацию, на основе проведенного анализа принять правильное решение, выработать план действий и суметь осуществить его.

Текст задачи описывает некоторое явление (процесс, ситуацию). Для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо построить ее математическую модель, а затем применить известные методы для нахождения числового значения искомых величин. При этом основная трудность как раз и состоит в переходе от текста к математической модели. Для построения математической модели необходимо, прежде всего, реконструировать в воображаемом внутреннем плане описываемую в задаче ситуацию, затем выделить в ней существенные признаки и абстрагироваться от всего того, что является несущественным с точки зрения поиска ответа на поставленный вопрос.

Для поиска решения необходимо выявить зависимости между указанными величинами. Для этого нужно представить всю, существенно важную информацию в наглядной и легко обозримой форме - в виде картинки, т.е. построить некоторую промежуточную графическую модель.

Требования, предъявляемые к графической модели предметной области задачи, можно сформулировать так. Она должна:

  • «опредмечивать» абстрактные понятия;
  • нести информацию лишь о существенных признаках задачи;
  • давать возможность непосредственно усматривать зависимость между величинами, о которых идет речь в задаче;
  • допускать ее практические преобразования;
  • строиться на основании анализа текста задачи;
  • не предъявлять неумеренных требований к графическим навыкам учащихся.

Рисование графической схемы, во-первых, заставляет ученика внимательно читать текст задачи, во-вторых, позволяет перенести часть умственных действий в действия практические и закрепить результат в виде материального объекта, в-третьих, дает возможность искать решение самостоятельно.

Каждая решаемая задача имеет свою методическую цель. Поэтому учитель должен стремиться не к тому, чтобы развивать тренировку, а к тому, чтобы из нее выжать как можно больше пользы для математического развития учеников.

Исходя из вышеописанного, можно дать следующие методические рекомендации:

1. Анализ условия задачи целесообразно проводить, используя следующие вопросы:

  • Какой процесс описывается в задаче?
  • Какими величинами он характеризуется? Как связаны величины?
  • Сколько реальных процессов описывается в задаче?
  • Значения, каких величин известны?
  • Значения, каких одноименных величин сравниваются?
  • Значения, каких величин являются искомыми?

2. Анализ задачи, в результате которого появляется уравнение, неравенство или система уравнений и неравенств, может быть оформлена в виде чертежа, таблицы, графа;

3. При решении текстовых задач рекомендуется соблюдать следующие этапы:

  • анализ зависимостей между величинами (краткая запись условия, использование таблицы, сетевые графы, чертежи);
  • выбор неизвестного;
  • выражение величин, входящих в найденные зависимости, через неизвестные и данные;
  • составление уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств, пользуясь найденными зависимостями.

Таким образом, такие методические подходы к работе над задачей позволяют более полно реализовать как обучающие, так и развивающие функции задачи.

Задачи на нахождение двух чисел по сумме и кратному отношению.

Основные понятия в задачах на нахождение двух чисел по сумме и кратному отношению.

В задачах данного типа дается отношение величин, которое является отвлеченным данным и поэтому более трудно детьми воспринимается. Но, кроме этого, при их решении величины выражаются частями – условными единицами измерения.

Поэтому, чтобы решить задачу на нахождение чисел по сумме и кратному отношению, учащиеся должны:

  1. понимать части – условные единицы измерения;
  2. понимать отношение величин, уметь заменять части отношением величин и наоборот, а также уметь практически делить величину на части в нужном отношении.

Примеры решения задач.

Схема задачи:

100, 4, □, □.

□ - обозначены искомые числа.

Условие задачи:

В магазине было черного сукна в 4 раза больше, чем серого. Всего в магазине было 100 м сукна.

Сколько было черного и серого сукна в отдельности?

Решение.

Пусть серого сукна было х метров, тогда черного х*4 = 4х (метров).

Всего было 100 м. Поэтому х + 4 х = 100.

Мы составили уравнение. Решим его.

5 х= 100;

х = 20

Ответ: 20 м серого сукна и 20*4 = 80 (м) черного сукна.

Задачи на нахождение чисел по разностному и кратному отношению. 

Пример решения задачи.

Схема задачи:

60, 4, □, □ .

Условие задачи:

В магазине было черного сукна в 4 раза или на 60 м больше чем серого.

Сколько было черного и серого сукна в отдельности?

Решение.

Пусть серого сукна было у метров, тогда черного у*4 = 4у (метров).

Поэтому 4у - у = 60 или 3у = 60;

у = 20

Ответ: 20 м серого сукна и 20*4 = 80 (м) черного сукна.

Задачи на нахождение чисел по сумме и разности.

Примеры решения задачи

Схема задачи:

□, □, 100 м, 60 м,

Условие задачи:

В магазине было серое и черное сукно всего 100 м. Черного сукна было на 60 м больше чем серого.

Сколько было черного и серого сукна в отдельности?

Решение (1-й способ).

Пусть серого сукна было к метров, тогда черного (к+60) м так как черного было на 60 м больше чем серого.

Всего сукна было 100 м.

Составим уравнение:

к + 60 + к = 100

60 + 2к = 100

2к = 40

к = 20

Ответ: на складе было 20 м серого сукна, а черного -

20 + 60 = 80 м.

Решение (2-й способ).

Пусть черного сукна было у метров, тогда серого (у - 60) м так как серого было на 60 м меньше чем черного. Всего сукна было 100 м.

Составим уравнение:

у - 60 + у = 100

2у = 160

у = 80

Ответ: на складе было 80 м черного сукна, а серого -

80 - 60 = 20 м.

Составление задач данных трех типов: сумма чисел, разностное отношение, кратное отношение.

При составлении задач приходится заранее сравнивать (связывать) числа, которые в условии задачи будут неизвестными.

Пусть мы хотим составить задачу с такими данными: 20 м серого сукна и 80 м черного сукна.

Существует три способа “ связывания” данных:

1. Сложением (найдем сумму чисел):

20+80=100(м) было всего сукна.

2. Вычитанием (найдем разностное отношение):

80-20=60(м)

На 60 м было больше черного сукна, чем серого.

3. Делением (найдем кратное отношение):

80:20=4(раза)

В 4 раза было больше черного сукна, чем серого.

Для составления задач нам надо выбрать два числа из трех полученных нами результатов сравнения: 100, 60, 4.

Получаем следующую таблицу задач:

  Сумма чисел Разностное отношение Кратное отношение Искомые числа
Исходный набор значений 100 60 4 20 80
1-я задача  100    4  20  80
2-я задача    60  4  20  80
3-я задача  100  60    20  80

Задачи для работы в классе. 

  1. а) Школа-интернат заготовила всего 4500 кг капусты и картофеля, причем картофеля было заготовлено в 8 раз больше, чем капусты. Сколько заготовили капусты и картофеля в отдельности?
    б) Школа-интернат заготовила картофеля на 3500 кг больше, чем капусты. Всего было заготовлено картофеля и капусты 4500 кг. Сколько заготовили капусты и картофеля в отдельности?
    в) Школа-интернат заготовила картофеля на 3500 кг больше, чем капусты, причем картофеля было заготовлено в 8 раз больше, чем капусты. Сколько заготовили капусты и картофеля в отдельности?
  2. В двух ящиках лежат помидоры. Во втором ящике в 3 раза больше помидоров, чем в первом. Сколько помидоров в обоих ящиках, если в первом ящике 12 кг?
  3. У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил еще несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?
  4. В пакете было 350 г сахара. Когда в него добавили еще сахару, в нем стало 900 г. Сколько граммов сахару добавили в пакет?
  5. В двух карманах было 28 орехов, причем в левом кармане в 3 раза больше, чем в правом. Сколько орехов было в каждом кармане?
  6. Я задумал число. Если его увеличить на 9,2 и результат увеличить в 11 раз, то получится 110. Какое число я задумал?
  7. Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4 ц хлопка за день. При этом первая бригада собрала на 1,52 ц больше второй. Сколько центнеров хлопка собрала каждая бригада?
  8. Сумма двух чисел 7,2, причем 1/3 большего числа равна меньшему числу. Найдите эти числа.
  9. В двух сосудах 35 л жидкости. Известно, что в одном сосуде жидкости в 11/3 раза меньше, чем в другом. Сколько жидкости в каждом сосуде?
  10. Если к 2/7 неизвестного числа прибавить 0,8, то получится 1,2. Найдите неизвестное число.  

Задачи для самостоятельного решения

  1. Проволоку длиной 135 м разрезали на две части так, что одна из них короче другой в 2 раза. Найти длину каждой части.
  2. В первую смену на фабрике работает на 50 рабочих больше, чем во вторую. Всего в двух сменах работает 650 рабочих. Сколько рабочих работает в каждую смену в отдельности?
  3. По данных предыдущей задачи составить задачу на нахождение двух чисел по сумме и кратному отношению. Решить составленную задачу.
  4. При первой космической скорости космический корабль может вращаться вокруг земли, не падая на нее. При третьей космической скорости космический корабль может покинуть пределы солнечной системы и навсегда улететь во Вселенную. Третья космическая скорость в 4 раза, или на 24 км/с больше первой космической скорости. Найти первую и третью космические скорости.
  5. Площадь двух комнат квартиры равна 49,5 м2. Одна комната имеет площадь в 1,25 раза большую, чем другая комната. Какова площадь каждой комнаты?
  6. На основе предыдущей задачи составить и решить задачу по схеме: 22 м2;  ; 49,5 м2.
  7. Составить и решить задачи на нахождение двух чисел:
    а) по сумме и разности ; ; ; .
    б) по сумме и кратному отношению: ; в  раза; ;.
    в) по разности и кратному отношению ; в раза ;.
  8. В первый день скосили 40 га посевов; во второй день в 2 раза , чем в первый день. В третий день скосили на 15 га , чем во второй день.
    Сколько гектаров скосили в третий день?
  9. Дед старше отца на 35 лет. Отец старше сына в 7 раз. Всем троим 110 лет.
    Сколько лет каждому из них?

Тест-задания. 

Вариант 1

А1.На одной ферме 847 коров, а на другой – на 309 коров больше. Сколько коров на двух фермах?
а)847-309=538(к.) б)847+309=1156(к.) в)847+309=1156(к.)
847+538=1385(к.) 847+1156=2003(к.)

А2.Масса яблока 140 г, а масса груши на 60 г больше. Какова масса трех таких яблок и груши?
а)140+60=200(г) б)140+60=200(г) в)140-60=80(г)
б)140*3=420(г) 140+200=340(г) 140*3=420(г)
140+420=560(г) 80+420=500(г)

В1.Расстояние от дома до школы 370 м, а расстояние от дома до стадиона 1240 м. На сколько метров расстояние от дома до школы меньше расстояния от дома до стадиона?
а)1610 б)870 в)1510

В2.В двух корзинах 16,8 кг помидоров. В одной корзине в 2 раза больше помидоров, чем в другой. Сколько килограммов помидоров в каждой корзине?
а)5,6 и 11,2 б)8,4 и 8,4 в)4,2 и 12,6

С. Сумма двух чисел 549, Одно из них в 8 раз больше другого. Найдите эти числа?

Вариант 2

А1. Я задумал число. Если его увеличить в 11 раз и результат уменьшить на 2,75, то получится 85,25. Какое число я задумал?
а)85,25-2,75=82,5 б)85,25+2,75=88 в)85,25+2,75=88
82,5:11=7,5 88:11=8 88*11=968

А2. Два комбайнера убрали пшеницу с 64,2 га. Сколько гектаров убрал каждый комбайнер, если первый убрал на 2,8 га меньше чем второй?
а)х+х-2,8=64,2 б) х+х+2,8=64,2 в)х+х-2,8=64,2
2х=64,2+2,8 2х=64,2-2,8 х-2,8=64,2
2х=67 2х=61,4 х=67
х=33,5 х=30,7
33,5-2,8=30,7 67-2,8=64,2

В1. Два тракториста вспахали 12,32 га земли, причем один из них вспахал в 1,2 раза меньше другого. Сколько гектаров земли вспахал каждый тракторист?
а)5,6 га,6,72 га б)61,6 га,73,92 га в)6,3 га,6,02 га

В2. В трех ящиках было 76 кг вишни. Во втором ящике было в 2 раза больше, чем в первом, а в третьем – на 8 кг больше вишни, чем в первом. Сколько килограммов вишни было в каждом ящике?
а)15кг;35кг;26кг б)10кг;36кг;20кг в)17кг;34кг;25кг

С. Сумма двух чисел равна 124/7. Одно из них в 12/7 раза больше другого. Найдите эти числа.