Урок алгебры и начал анализа, 10-й класс, "Методы решения тригонометрических уравнений"

Цели урока:

1. Образовательные:

• сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
• сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

2. Развивающие:

• развитие умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с применением методов решения тригонометрических уравнений;
• развитие устойчивого интереса к математике, мыслительных и творческих способностей, а также творческой активности;
• содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.

3. Воспитательные:

• воспитывать чувство ответственности в связи с преодолением трудностей в процессе умственной деятельности, формировать навыки самооценки;
• содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся в ходе проговаривания алгоритмов решения тригонометрических уравнений.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков решения тригонометрических уравнений.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности:

1. Фронтальная;
2. Индивидуальная;
3. Самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование: экран, проектор карточки для самостоятельной работы, интерактивная доска, стенд «Решение простейших тригонометрических уравнений», стенд «Формулы преобразования тригонометрических выражений», стенд «Значения тригонометрических функций», доска, мел, оценочные листы.

Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Задачник Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович. П.В. Семенов.

Подготовка к уроку:

I Всем учащимся даются задания:

1. Записать в тетради решения простейших тригонометрических уравнений вида: sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a;

2. Решить уравнения:

1. 2 sin²x – 5 sin x + 2 = 0;
2. cos²x – sin² x – cos x = 0;
3. tg ½ x + 3 ctg ½ x = 4;
4. (sin x – 1/3) (cos x + 2/5) = 0;
5. 2 sin x * cos 5x – cos 5x = 0;
6. 2 sin x – 3 cos x = 0;
7. sin 2 x + cos 2x = 0.

Учащиеся прорабатывают соответствующие разделы учебника, получают консультацию учителя. Учитель внимательно следит за речью учащихся, в случае необходимости поправляет.

План урока:

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация (1 мин.);

2. Повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой (9 мин.):
   
   2.1. Метод подстановки;
   
   2.2. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по формулам:
   sin²x + cos²x = 1;
   ctg x * tg x = 1;
   cos 2x = 1– 2 sin²x;
   cos 2x = 2cos²x -1;
   
   2.3. Метод разложения на множители;
   
   2.4. Решение однородных уравнений первой степени;

3. Ознакомление с новыми умениями, показ образцов решения тригонометрических уравнений (25 мин):

• на уровне восприятия, осмысления, запоминания;
• на уровне применения знаний по образцу;
• на уровне применения знаний в новой ситуации

3.1. Решение однородных уравнений второй степени;

3.2. Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций;

3.3. Метод использования свойства ограниченности функции;

3.4. Различные способы решения одного тригонометрического уравнения вида a sin x + b cos x = с, а, b, с – любые действительные числа;

4. Дифференцированная самостоятельная работа (7 мин.);

5. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин.);

6. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении (1 мин.).

Ход урока

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

Учитель: Сегодня на уроке рассмотрим различные методы решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы стоит держать в зоне своего внимания. Повторим, приведем в систему изученные виды, типы тригонометрических уравнений, рассмотрим методы решения тригонометрических уравнений. Знания, умения, навыки полученные в процессе работы гарантируют успешное выполнение соответствующих заданий ЕГЭ.

2. Повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой; проведение проверочных упражнений.

2.1. Метод подстановки

2.2. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по формулам:

sin²x + cos²x = 1;
ctg x * tg x = 1;
cos 2x = 1– 2 sin²x;
cos 2x = 2cos²x - 1;

2.3. Метод разложения на множители

2.4. Решение однородных уравнений первой степени

Учитель обращает внимание учащихся на стенды:

1. Решение простейших тригонометрических уравнений;
2. Формулы преобразования тригонометрических выражений;
3. Значения тригонометрических функций.

Учащиеся представляют свои схемы решения каждого из простейших тригонометрических уравнений.

Ученик: Метод замены переменной

Этот метод нам хорошо известен, мы не раз применяли его при решении различных уравнений. Вот как он применяется при решении тригонометрический уравнений.

Слайд 1, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение 2 sin²x – 5 sin x + 2 = 0

Вопрос учителя: Объясните, на каком основании уравнение sin x = 2 не имеет решения?

Ученик с места: | sin x| ≤ 1, т. е -1 ≤ sin x ≤ 1

Слайд 2, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: cos²x – sin²x – cos x = 0.

Слайд 3, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: tg ½ x + 3 ctg ½ x = 4.

Ученик: Теперь о втором методе решения тригонометрических уравнений – методе разложения на множители. Суть этого метода нам знакома: если уравнение f(x) = 0 удается преобразовать к виду f1(x) * f2(x)= 0, то либо f₁(x)= 0, либо f₂ (x)= 0. Задача сводится к решению совокупности уравнений f₁(x)= 0; f₂ (x)= 0.

Слайд 4, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: (sin x – 1/3) (cos x + 2/5) = 0.

Слайд 5, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение 2 sin x * cos 5x – cos 5x = 0.

Учитель: Переход к совокупности уравнений f₁(x)= 0; f₂ (x)= 0 – не всегда безопасен. Рассмотрим tg x (sin x – 1) = 0. Из уравнения tg x = 0 находим x = πn, из уравнения sin x = 1, находим x = π/2 + 2 πn. Но включать обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях x = π/2 + 2 πn входящий в заданное уравнение множитель tg x не имеет смысла, т.е. значения x = π/2 + 2 πn, не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений – ОДЗ), это посторонние корни.

Записывается уравнение учителем на интерактивной доске, а решение диктуют ученики, так же приводится запись ответа.

Ученик: Уравнение a sin x + b cos x = 0 называют

однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

Итак, дано уравнение a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0.

Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим: a tg x + b = 0, в итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению tg x = - b /a

Учитель: Внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на нуль делить нельзя!). Предположим, cos x = 0, тогда уравнение примет вид a sin x = 0, т.е. sin x = 0, вы ведь не забыли, что a ≠ 0). Получается, что и cos x = 0, и sin x = 0, а это невозможно, так как sin x, cos x одновременно равняться нулю не могут, т.к. обращаются в нуль в различных точках.

(sin²x + cos²x =1) Деление не приведет к потере корней!

Слайд 6, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: 2 sin x – 3 cos x = 0.

Слайд 7, (приложение 1) комментирует учащийся.

Решить уравнение: sin 2 x + cos 2x = 0.

3. Ознакомление с новыми умениями, показ образцов:

• на уровне восприятия, осмысления, запоминания;
• на уровне применения знаний по образцу;
• на уровне применения знаний в новой ситуации.

3.1. Решение однородных уравнений второй степени

3.2. Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций;

3.3. Метод использования свойства ограниченности функции;

3.4. Различные способы решения одного тригонометрического уравнения вида a sin x + b cos x = с, а, b, с – любые действительные числа (задание творческого характера).

Рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второй степени a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0, где a ≠ 0, b ≠0.

Разделив почленно на cos²x ≠ 0, x ≠ ½ π + πn, n Є Z, получим a tg²x + b tg x + с = 0. Это квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg x.

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а = 0, тогда уравнение примет вид b sin x cos x + c cos²x = 0, это уравнение можно решить методом разложения на множители

Учащиеся вместе с учителем формулируют алгоритм решения уравнения

a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 (приложение 2)

Слайд 8, (приложение 1) демонстрирует и комментирует учащийся.

Решить уравнение: sin²x - 3 sinx cos x + 2 cos²x = 0,

У доски ученик решает уравнение: √3 sin x cos x + cos²x = 0,

Р е ш е н и е: Здесь отсутствует член вида a sin²x, значит делить обе части уравнения на cos²x нельзя, это приведет к потере корней. Решим методом разложения на множители:

cos x (√3 sin x + cos x) = 0

cos x = 0, или √3 sin x + cos x = 0

Из первого уравнения находим: x = ½ π + πn, n Є Z.

Второе уравнение – однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его с помощью почленного деления обеих частей уравнения на cos x ≠ 0, √3 sin x cos x + cos²x = 0; √3 tg x + 1 = 0;

tg x = - √3/3 x = arctg (- √3/3) + πn, т.е. x = 1/6 π + πn.

Ответ: x = ½ π + πn, x = 1/6 π + πn; n Є Z.

Учитель: Встречаются однородные тригонометрические уравнения более высоких степеней, идеология их решения та же самая

У доски ученик решает уравнение:

sin²x + sin²x cos x – 3 sin x cos²x = 0,

Р е ш е н и е: Разделив обе части уравнения почленно на cos²x ≠ 0,

Деление не приведет к потере корней, т.к. при х = ½ π + πn, n Є Z,

получим в левой части либо 1, либо -1, следовательно, эта серия корней не удовлетворяет заданному уравнению. Получим:

tg²x + tg²x -3 tg x - 3 = 0;

tg²x (tg x + 1) – 3(tg x + 1) = 0;

(tg x + 1) (tg²x - 3) = 0. Значит либо tg x = -1, либо tg x = ±√3. Из первого уравнения находим: x = arctg (-1) + πn, т.е. x= - ¼ π + πn.

Из второго уравнения находим: x = ± arctg √3 + πn,

Ответ: x= -¼ π + πn; x = ±1/3 π+ πn, n Є Z.

Учитель: Следующий метод - метод использования свойства ограниченности функции

Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех выполняется неравенство f(x) ≤ а и g(x)≤ в, и дано уравнение f(x) + g(x) = а + в, то оно равносильно системе

Решить уравнение: sin x/3 - cos 6x = 2

Р е ш е н и е: Поскольку -1 ≤ sin x/3 ≤ 1 и -1 ≤ cos 6x ≤ 1, имеем систему:

Учащиеся оформляют решение в тетрадях.

Учитель: Суть метода использования условия равенства одноименных тригонометрических функций:

sin f(x) = sin g (x) → f(x) = g (x) +2 πk, k Є Z,

sin f(x) = sin g (x) → f(x) = π - g (x) +2 πn, n Є Z

Запишем в тетрадь и запомним!

Решить уравнение: sin 3x - sin 5x = 0

5 x = 3 x + 2 π k, k Є Z, → x = π k, k Є Z

5 x = π – 3 x + 2 π n, n Є Z, → x = (2 n + 1) π/8, n Є Z,

Рассмотрим различные способы решения уравнения

вида a sin x + b cos x = с, а, b, с – любые действительные числа.

Уравнение sin x + cos x = 1 можно решить несколькими способами, рассмотрим четыре способа решения уравнения (упражнение творческого характера).

У доски одновременно работают четыре ученика, показывают различные способы решения этого уравнения:

Способ 1. Введение вспомогательного угла

sin x + cos x = 1 Разделив обе части уравнения почленно на √2, получим 1/√2 sin x + 1/√2 cos x = 1/√2;

cos π/ 4 sin x + sin π/ 4 cos x; sin (x + π/ 4) = √2/2

x + π/ 4 = (-1)ⁿ arcsin √2/2 + πn, n Є Z, x = - π/ 4 + (-1)ⁿ π/ 4 + πn, n Є Z,

Ответ: x = - π/ 4 + (-1)ⁿ π/ 4 + πn, n Є Z,

Способ 2. Сведение к однородному уравнению.

Ученик: Выразим sin x, cos x , 1 через функции половинного аргумента:

2 sin x/2 cos x/2 + cos² x/2 - sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2 ,

2 sin x/2 cos x/2 – 2 sin² x/2 = 0. Разделив обе части уравнения почленно на cos² x/2 ≠ 0, получим tg ½x – tg² ½x = 0,

tg ½x (1 - tg ½x ) = 0, tg ½x = 0 или tg ½x = 1,

Если tg ½x = 0, x = 2 πn, n Є Z , если tg ½x = 1, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Ответ: x = 2 πn, n Є Z, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Способ 3. Преобразование суммы в произведение.

Ученик: Выразим cos x через sin ( π/2 - х), получим

2 sin π/4 cos (x - π/4) = 1, √2 cos (x - π/4) = 1,

cos (x - π/4) = √2/2, x - π/4 = ± arcсos √2/2 + 2πn, n Є Z

x = π/4 ± π/4 + 2πn, n Є Z

Ответ: х = 2πn, n Є Z, x = π/2 + 2πk, k Є Z.

Способ 4. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Выразим sin x, cos x через tg ½x,

получим 2 tg ½x + 1 – tg² ½x = 1 + tg² ½x,

2 tg ½x - 2 tg² ½x = 0, tg ½x (1 - tg ½x ) = 0, tg ½x = 0 или tg ½x = 1,

Если tg ½x = 0, x = 2 πn, n Є Z , если tg ½x = 1, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Ответ: x = 2 πn, n Є Z, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Проводим сравнительный анализ и комментарий решения.

4. Дифференцированная самостоятельная работа:

• тренировочные упражнения по образцу, алгоритму;
• упражнения на перенос в сходную ситуацию.

Проверка выполнения самостоятельной работы и индивидуальная работа с теми, кто допустил ошибки.

Условие самостоятельной работы:

Провести классификацию уравнений по методам решения и решить

Вариант I (I уровень сложности)

Вариант II (II уровень сложности)

1. Решить уравнение: 2 sin² x – 3 sin x - 2 = 0
2. Решить уравнение: 2 sin² x – 3 cos x = 3
3. Решить уравнение: cos 2x - 2 cos x = 0.
4. Решить уравнение: sin² x - 3 sin x cos x - 4 cos² x = 0,
5. Решить уравнение: sin 6x + sin 2x = 0,
6. Решить уравнение: 2 sin x cos 2x – 1 + sin x - 2 cos 2x = 0,
7. Решить уравнение: cos 2 x = √2 (cos x - sin x)

Учащиеся осуществляет самопроверку по готовому решению на интерактивной доске, убрав «шторку», получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.

Учитель работает с теми, кто допустил ошибки.

5. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель: Итак, подведем итоги урока.

Какими методами можно решать тригонометрические уравнения?

Ответы учащихся:

1. Разложение на множители;
2. Метод замены переменной:
   • сведение к квадратному уравнению;
   • введение вспомогательного аргумента (метод Ибн Юниса)
   • универсальная тригонометрическая подстановка.
3. Сведение к однородному уравнению;
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
   • обращение к условию равенства тригонометрических функций;
   • использование свойства ограниченности функции.

Ребята сдают оценочные листы

Рефлексия. Продолжите фразу:

• Самым сложным на уроке было…
• Самым интересным при работе для меня было…
• Самым неожиданным для меня было…

6. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении

Решить уравнение:

• 2 sin² x + cos 4 x = 0
• sin⁴ x + cos⁴ x = cos²2 x + ¼
• sin 2 x = cos x - sin x
• √3 cos x + sin x = 2

№ 23.14 Задачник Алгебра и начала анализа 10 класс, А.Г. Мордкович.

При решении первого уравнения воспользуйтесь формулой понижения степени.