Тема: «Формулы сокращенного умножения».
Цели урока:
- Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний по данной теме с включением игровых моментов с применением ИКТ, самостоятельной работы с проверкой на компьютере.
Технологии: презентация (приложение 1), компьютеры Pentium, Windows 2000; электронные программы «Universal Math Solfver» (UMS) и «КООDRAW».
Организационные формы общения: индивидуальная, групповая, коллективная.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Постановка целей урока.
III. Разминка (на знание формул сокращенного умножения).
№ |
Левая часть |
Буква | Правая часть |
Буква |
1 |
(а + в)2 |
(а + в)(а2 – ав + в2) |
Е |
|
2 |
(а - в)2 |
а3 – 3а2в + 3ав2 – в3 |
Р |
|
3 |
(а - в) (а + в) |
а2 + 2ав + в2 |
Й |
|
4 |
а3 + в3 |
а2 – в2 |
Т |
|
5 |
а3 - в3 |
а3 + 3а2в + 3ав2 + в3 |
О |
|
6 |
(а + в)3 |
(а - в) (а + в) |
П |
|
7 |
(а - в)3 |
а2 - 2ав + в2 |
Е |
|
8 |
а2 – в2 |
(а - в)(а2 + ав + в2) |
М |
В первой таблице представлена левая часть формулы сокращенного умножения, а во второй – правая часть.
Задание. Для левой части формулы найти из второй таблицы ее правую часть и в первой таблице рядом с левой частью формулы поставить букву, соответствующую правой части формулы (эти формулы пригодятся при выполнении практической части урока).
Ответ: Й Е Т Е М О Р П
Читаем обратно: П Р О М Е Т Е Й
Вопросы:
- Кто такой Прометей?
- Что означает это имя?
За информацией обратиться: www.google.ru
Поиск в Интернете: Прометей
Результаты поиска:
- http://mythology.sgu.ru/mythology/linc_personag/prometey.htm
- http://ru.wikipedia.org/wiki/Прометей
- http://greekroman.ru/prometheus.htm
Прометей в греческой мифологии - один из титанов и его имя означает «мыслящий прежде», «предвидящий». Он похитил с неба огонь и научил людей пользоваться им. За это разгневанный Зевс повелел приковать его к скале. Ежедневно прилетавший орёл клевал печень титана. Поэтому образ Прометея стал символом человеческого достоинства, величия. Отсюда пошло выражение "прометеев огонь", т.е. священный огонь, горящий в душе человека.
Рисунок 1
Рисунок 2
IV. Практическая часть.
Где применяются формулы сокращенного умножения?
- При упрощении выражений.
- При разложении выражений на множители.
- При решении уравнений.
Примеры применения формул сокращенного умножения с помощью программы «Universal Math Solfver» (UMS).
Упрощение выражений – 4.024, 4.036
Разложение на множители – 2.030, 2.044
Решение уравнений – 1.183, 1.190
V. Самостоятельная работа (карточки).
Программированная таблица
- Код задания – это абсцисса точки, код ответа – ордината точки.
- Из предложенных вариантов ответов, найти верный и рядом с кодом задания записать код ответа.
- Записать координаты точек в программе «KOODRAW» и нарисовать по координатам рисунок.
№ задания |
I.Упростить |
х |
у |
Ответ |
у |
1 |
(4х + у)2 – 8ху |
0 |
|
3х3 + 3у3 |
-2 |
2 |
(х2- у2)2 + 2х2у2 |
-2 |
|
8х3 – у3 |
0 |
3 |
(х – 3у)(х +3у) + 3у2 |
-8 |
|
16х2 + у2 |
-15 |
4 |
3(х + у)3 – 9ху (х + у) |
-4 |
|
х2 – 6у2 |
-8 |
5 |
(2х – у)3 + 12х2у - 6ху2 |
-15 |
|
х4 + у4 |
-4 |
№ задания |
II. Разложить |
х |
у |
Ответ |
у |
6 |
5х2 - 45 |
-4 |
|
-2(х + 2у)2 |
4 |
7 |
у4 -8у2х + 16х2 |
-8 |
|
2(2х – у)(4х2 +2ху + у2) |
15 |
8 |
-2х2 – 8ху - 8у2 |
-2 |
|
3(х + 3у)(х2 +3ху + 9у2) |
4 |
9 |
16х3 -2у3 |
0 |
|
5(х – 3)(х + 3) |
2 |
10 |
3х3 + 81у3 |
2 |
|
(2х – у – 2)(2х – у + 2) |
8 |
11 |
4х2 – 4ху + у2 - 4 |
8 |
|
(у2 – 4х)2 |
8 |
№ задания |
III. Решить уравнение |
х |
у |
Ответ |
у |
1 |
(х – 7)2 + 3 = (х – 2)(х + 2) |
4 |
|
-2; 0; 2 |
-2 |
2 |
(х + 6)2 – (х – 5) (х + 5) = 79 |
15 |
|
4 |
2 |
3 |
х3 - 4х = 0 |
4 |
|
-1/3; 0 |
-4 |
4 |
25х2 – 10х + 1 = 0 |
8 |
|
1,5 |
0 |
5 |
9х3 + 6х2 + х = 0 |
2 |
|
0,2 |
-8 |
Ответ:
Вопросы:
- Что за фигура у вас получилась?
- Что она означает?
Основным символом министерства РФ по чрезвычайным ситуациям является Белая Звезда Надежды и Спасения, на базе которой разработана эмблема МЧС России, представляющая собой вытянутый по вертикали восьмиугольник, в центре которого расположен международный отличительный знак гражданской обороны - голубой треугольник в круге оранжевого цвета.
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
Вопрос:Что общего между Прометеем и МЧС России?
Ответ: Прометей добыл огонь для людей, а Государственная противопожарная служба МЧС России тушит огонь.
VI. Конкурсы.
А где ещё применяются формулы сокращенного умножения?
- При доказательстве некоторых утверждений и тождеств.
- На формулах сокращенного умножения основаны некоторые математические фокусы и загадки, позволяющие производить вычисления в уме.
1. «Отгадывание задуманного числа»
- Задумайте число (до 10);
- Умножьте его на себя;
- Прибавьте к результату задуманное число;
- К полученной сумме прибавьте 1;
- К полученному числу прибавьте задуманное число.
Скажите мне число, которое у вас получилось и я отгадаю, какое число вы задумали.
Решение:x² + x + 1 + x = x² + 2x + 1 = (x + 1)²
Например,5·5 + 5 + 1 + 5 = 36, тогда x = √36 – 1 = 6 – 1 = 5.
2. «Эрудит»
Любое натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, можно записать в виде 10а + 5.
Например, 25 = 2·10 + 5.
Доказать, что для вычисления квадрата такого числа можно к произведению а(а + 1) приписать справа 25.
Например, 25² = 625, т.к. 2 ·(2 + 1) = 6.
Доказательство: (10а + 5)² = 100a² + 100a + 25 = 100a(a +1) + 25 = a (a +1) ·100 + 25.
Найдите по этому правилу 45², 75², 115².
3.«Письмо из прошлого»
Задача Пифагора: Всякое нечётное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.
Решение:
1 способ.
(n+1)2 – n2 = (n+1-n)(n+1+n) = 2n + 1 - нечётное число.
2 способ.
(n+1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1 – нечётное число.
Рисунок 6
В школе Пифагора эта задача решалась геометрически.
Действительно, если к квадрату со стороной n прибавить гномон, представляющий нечётное число 2n+1 (на приложение 4. выделено цветом), то получится квадрат со стороной n+1, т.е.n2 + (2n+1) = (n+1)2 или (n+1)2 – n2 = 2n + 1
VII. Задание на дом.
Из учебника:
№ 884
Доказать тождество:
а) (a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
б) (a+b)² - (a-b)² = 4ab
в) a²+b² = (a+b)² - 2ab
г) (a+b)² - 2b(a+b)=a² - b²
№ 1072
В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество: (p²+cq²)(r²+cs²) = (pr+cqs)² + c(ps-qr)².
Докажите его.
VIII. Итог урока.
На уроке мы вспомнили, каким образом применяются формулы сокращенного умножения при упрощении выражений, при разложении выражений на множители, при решении уравнений.
Рефлексия.
1) Учитель обращается к учащимся с вопросами:
- Что нового узнали на уроке?
- Чем полезен был урок?
2) Учитель предлагает учащимся самим оценить свою работу и поставить себе оценку.
Вывод: Формулы сокращенного умножения следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.