Задачи с игральными костями как средство реализации гуманитарной направленности в обучении математике

Упражнениями, побуждающими внутреннюю энергию мозга, стимулирующими игру сил
“умственных мускулов”, является решение задач на сообразительность, сметливость.

Сухомлинский В.А.

Гуманитарная направленность сегодня расширяет содержание математического образования. Она не только повышает интерес к предмету, как это принято считать, но и развивает в учащихся личность, активизирует их природные способности, создает условия для саморазвития. А потому, гуманитарный аспект при обучении математике способствует: приобщению учащихся к духовной культуре, творческой деятельности; вооружению их эвристическими приемами и методами научного поиска; созданию условий, побуждающих школьника к активной деятельности и обеспечение его участия в ней. Мышление человека, главным образом, состоит из постановки и решения задач. Перефразируя Декарта, можно сказать: жить – значит ставить и решать задачи. И пока человек решает задачи – он живет.

Задачи с игральными костями можно рассматривать как средство реализации гуманитарной направленности в обучении математике. Они способствуют: развитию пространственного воображения; формированию умений мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета и умения зафиксировать это представление на изображении; обучению логическим обоснованиям геометрических фактов; развитию конструкторских способностей, моделированию; развитию исследовательских навыков.

Задача 1. Внимательно рассмотрите фигуры в верхнем ряду:

Какую фигуру вместо знака “?” из нижнего ряда необходимо поставить?

Ответ: “б”.

Задача 2. На передней грани кубика нарисована 1 точка, на задней – 2, на верхней – 3, на нижней – 6, на правой – 5, на левой – 4. Какое наибольшее количество точек можно увидеть одновременно, поворачивая этот кубик в руках?

Ответ: 13 точек.

Задача 3. На игральном кубике общее число точек на любых двух противоположных гранях равно 7. Коля склеил столбик из 6 таких кубиков и подсчитал общее число точек на всех наружных гранях. Какое самое большое число он мог получить?

Ответ: число 96.

Задача 4. Перекатите кубик, представленный на рисунке, за 6 ходов так, чтобы он добрался до 7-го квадрата и при этом сверху была бы его грань с 6 точками. А каждый ход вы можете передвигать кубик на четверть оборота вверх, вниз, влево или вправо, но не по диагонали.

Ответ:

Задача 5. Вы видите на рисунке, как король Страны Головоломок играет с дикарем в кости.

Это необычная игра. В ней один игрок, подбросив кость, складывает число, выпавшее на верхней грани, с любым числом на одной из четырех боковых граней. А его соперник складывает все остальные числа на трех боковых гранях. Число на нижней грани не учитывается. Это простая игра, хотя математики расходятся во мнениях относительно того, какое именно преимущество имеет бросающий кость над своим соперником. В настоящий момент дикарь бросает кость, в результате этого броска король опередил его на 5 очков. Скажите, какое число должно было выпасть на кости?

Принцесса Загадка ведет счет выигрышам дикаря. Если это число перевести в привычную для дикаря бунгалозскую систему, то оно окажется еще больше. У дикарей из Бунгалозии, как нам хорошо известно, на каждой руке только по три пальца, так что они привыкли к шестеричной системе счисления. Отсюда возникает одна любопытная задача из области элементарной арифметики: мы просим наших читателей перевести число 109 778 в бунгалозскую систему, дабы дикарь узнал, сколько золотых монет он выиграл.

Решение. Кость должна выпасть единицей вверх. Если прибавить сюда 4 на боковой грани, то это дает сумму, равную 5. Сумма оставшихся чисел на боковых гранях (5, 2 и 3) равна 10, что, дает другому игроку преимущество в 5 очков. В шестеричной системе число 109778 запишется 2204122. Цифра справа представляет единицы, следующая цифра дает число шестерок, третья справа цифра означает число “тридцатишестерок”, четвертая цифра показывает число “порций” по 216 и т. д. Эта система основана на степенях 6 вместо степеней 10, как это имеет место в десятичной системе счисления.

Ответ: 2204122.

Задача 6. На нижней грани кубика нарисованы 6 точек, на левой – 4, на задней – 2. Какое наибольшее количество точек можно увидеть одновременно, поворачивая этот кубик в руках?

Ответ: 13 точек.

Задача 7. Вот игральная кость: кубик с обозначенными на его гранях очками от 1 до 6.

Петр бьется об заклад, что если бросить кубик четыре раза подряд, то за все четыре раза кубик непременно упадет один раз единичным очком кверху. Владимир же утверждает, что единичное очко либо совсем не выпадет при четырех метаниях, либо же выпадет больше одного раза. У кого из них больше вероятности выиграть?

Решение. При четырех бросаниях число всех возможных положений игральной кости равно 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1296. Допустим, что первое метание уже состоялось, причем выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всех возможных положений, благоприятных для Петра, то есть выпадений любых очков, кроме единичного, 5 ? 5 ? 5 = 125. Точно так же возможно по 125 благоприятных для Петра расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125 + 125 + 125 + 125 = 500 различных возможностей для того, чтобы единичное очко при четырех 6росаниях появилось один, и только один раз. Неблагоприятных же возможностей существует 1296 – 500 = 796, так как неблагоприятны все остальные случаи.

Ответ: у Владимира шансов выиграть больше, чем у Петра: 796 против 500.

Задача 8. Бросается игральная кость. Определить величину вероятности, что выпадет 4 очка.

Решение. В игральной кости 6 граней, и на них отмечены очки от 1 до 6. подброшенная кость моет лечь вверх любой из этих 6 граней и показать любое число от 1 до 6. итак, имеем всего 6 равновозможных случаев. Появлению же 4 очков благоприятствует только 1. Следовательно, вероятность того, что выпадет именно 4 очка, равна 1/6. В случае метания одной кости та же вероятность, 1/6, будет и для выпадения всех остальных оков кости.

Ответ: 1/6.

Задача 9. Как велика вероятность получить 8 очков, бросив 2 кости 1 раз?

Решение. Подсчитать число всех равновозможных случаев, могущих получиться при бросании 2 костей, нетрудно, исходя из таких соображений: каждая из костей при бросании дает 1 из 6 равновозможных для ее случаев. 6 таких случаев для одной кости сочетаются всеми способами с 6 же случаями для другой кости, и таким образом получается всего для 2 костей 6 ? 6 = 6² = 36 равновозможных случаев. Остается подсчитать число всех равновозможных случаев, благоприятствующих появлению суммы 8. Здесь дело уже несколько осложняется.

Мы должны сообразить, что при 2 костях сумма 8 может выброситься только следующими способами (табл. 1).

Таблица 1

Итого, случаев, благоприятных ожидаемому событию, имеем 5.

Ответ: искомая вероятность, что кости выбросят в сумме 8 очков, равна 5/36.

Задача 10. Бросают 2 кости 3 раза. Какова вероятность, что хотя один раз выпадет дублет (т. е. на обеих костях будет одинаковое количество очков)?

Решение. Всех равновозможных случаев будет 3б³ = 46656. Дублетов при 2 костях 6: 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, б и 6, и при каждом ударе возможно появление какого-либо из них. Итак, из 36 случаев при каждом ударе 30 ни в коем случае не дают дублета. При трех же бросания: получается 30³ = 27 000 недублетных случая. Случаев же, благоприятствующих появлению дублета, будет, значит, 36³ – 30³ = 19 656. Искомая вероятность есть 19656 : 46656 = 0,421296.

Ответ: 0,421 296.

Задача 11. Если игральную кость бросить, то любая из 6 граней может оказаться верхней. Для правильной (т. е. не жульнической) кости все эти шесть исходов равновозможны. Брошены независимо друг от друга две правильные кости. Найти вероятности того, что сумма очков на верхних гранях:

а) меньше 9; б) больше 7; в) делится на 3; г) четна.

Решение. При бросании двум костей имеется 36 равновозможных исходов, поскольку имеется 36 пар, в которых каждый элемент – целое число от 1 до 6. Составим таблицу, в которой слева число очков на первой кости, вверху – на второй, а на пересечении строки и столбца стоит их сумма (табл. 2).

Таблица 2

Непосредственный подсчет показывает, что вероятность того, что сумма очков на верхних гранях меньше 9, равна 26/36 = 13/18; что эта сумма больше 7 – 15/36 = 5/18; что она делится на 3: 12/36 = 1/3; наконец, что она четна: 18/36 = 1/2.

Ответ: а) 13/18, б) 5/18, в) 1/3, г) 1/2.

Задача 12. Игральная кость подбрасывается до появления “шестерки”. Размер приза равен трем рублям, умноженным на порядковый номер выпадения “шестерки”. Следует ли принимать участие в игре, если вступительный взнос составляет 15 рублей? Каким должен быть вступительный взнос, чтобы игра была безобидной?

Решение. Рассмотрим случайную величину (величина, которая в результате испытания примет только одно возможное значение) без учета вступительного взноса. Пусть Х = {величина выигрыша} = {3, 6, 9...}. Составим граф распределения этой случайной величины:

По графу найдем математическое ожидание (среднее значение ожидаемого выигрыша), используя формулу:

Ответ. Математическое ожидание выигрыша (18 рублей) больше, чем величина вступительного взноса, то есть игра благоприятна для игрока. Чтобы игра была безобидной, нужно величину вступительного взноса установить равной 18 рублей.

Задача 13. Сумма очков на противоположных гранях кубика равна 7. Как нужно перекатывать кубик, чтобы он оказался повернутым так, как на рисунке:

Ответ:

Задача 14. Казино предлагает игроку премию в 100 фунтов стерлингов, если он с одного броска кости получит 6, как на рисунке:

Если у него не выйдет, он может сделать еще один бросок. Сколько игрок должен заплатить за эту попытку?

Ответ. Первый: 1/6=6/36, второй: 5/6•1/6=5/36, 11/36•100ф.ст.=30,55 ф.ст.

Задача 15. Игра в казино, так называемая “игра в кости”, переделана из игры, в которую в начале XIX века Бернар де Мандевиль называл “риск”, играется двумя кубиками (костями), как на рисунке “а” и “б”:

7 или 11 выигрывают. А какие проигрывают.

Ответ: 2 – 3 – 12.

Задача 16. Условие задания представлено на рисунке:

Каким изображением надо заменить знак “?” ?

Ответ: “а”:

Задача 17. С развертками куба, из которых можно составить поверхность куба, вы, вероятно, встречались. Число различных таких разверток равно 11. На рисунке вы видите изображение самого куба и его развертки:

На гранях куба написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но мы видим только три первых числа, а как расположены остальные числа, можно понять из развертки “а”. Если мы возьмем развертку “б” того же кубика, то там числа расположены в другом порядке, кроме того, они оказываются перевернутыми. Изучив развертки “а”, “б”, нанесите на остальные девять разверток пять чисел так, чтобы это соответствовало предложенному кубу:

Проверьте свой ответ, вырезав и сложив соответствующие развертки.

Ответ:

Задача 18. На гранях куба написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, что сумма чисел на любых двух противоположных гранях равна 7. На рисунке изображен этот куб:

Перерисуйте представленные развертки (а-г) и расставьте на них недостающие числа в нужном порядке.

Ответ. Числа можно расставить так, как показано на рисунке:

Задача 19. На развертке кубика пронумерованы его грани (а):

Запишите парами номера противоположных граней кубика, склеенного из этой развертки (б-г).

Ответ: (6; 3), (5; 2), (4; 1).

Задача 20. На грани куба нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Три положения этого куба изображены на рисунке (а, б, в):

В каждом случае определите, какая цифра находится на нижней грани. Перечертите развертки этого куба (г, д) и нанесите на них недостающие цифры.

Ответ. На нижних гранях находятся числа 1, 5, 2; недостающие цифры можно нанести как показано на рисунке:

Задача 21. Какой из трех кубиков можно сложить из данной развертки:

Ответ: “В”.

Задача 22. Развертка приклеена к столу окрашенной гранью:

Мысленно сверните ее. Представьте, что вы смотрите на куб со стороны, указанной одной стрелок. Какую грань вы видите?

Ответ: 1) А – 1, В – 4, С – 5; 2) А – 3, В – 2, С – 1.

Список литератураы

1. Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. 85 логических задач / пер. с венг. Ю.А. Данилова. – М.: Мир, 1975. – 358 с.
2. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах / под ред. С.И. Шварцбурда. – М.: Просвещение, 1974. – 191 с.
3. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах / под ред. С.И. Шварцбурда. – М.: Просвещение, 1977. – 288 с.
4. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! / пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 213 с.
5. Гарднер М. Математические чудеса и тайны: пер. с англ. / под ред. Г.Е. Шилова. – 5-е изд. – М.: Наука, 1986. – 128 с.
6. Гарднер М. Математические досуги: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1972. – 496 с.
7. Гарднер М. Математические новеллы: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1974. – 456 с.
8. Занимательная математика. 5-11 классы. (Как сделать уроки математики нескучными) / авт.-сост. Т.Д. Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005. – 96 с.
9. Кордемский Б.А. Математические завлекалки. – М.: Издательский Дом ОНИКС: Альянс-В, 2000. – 512 с.
10. Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои: 5-11 классы. Книга для учителя. – М.: Издательство “Первое сентября”, 2003. – 256 с.
11. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями /пер. с англ. – М.: Наука, 1985. – 88 с.
12. Олимпиадные задачи по математике. 5-8 классы. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад: развитие творческой сущности учащихся / авт.-сост. Н.В. Зоболотнева. – Волгоград: Учитель, 2005. – 99 с.
13. Перельман Я.И. Занимательные задачи и опыты. – М.: Детская литература, 1972. – 464 с.
14. Рассел К., Картер Ф. Тренинг интеллекта. – М.: Эксмо, 2003. – 96 с.
15. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: задачи на смекалку: учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1995. – 80 с.