Обобщающий урок "Применение непрерывности функций"

Разделы: Математика


Цели урока:

1. Обучающие:

  • закрепить умения вычислять пределы функций;
  • продолжить формирование умений применять непрерывность функций к решению различных задач.

2. Развивающие:

  • развитие памяти учащихся; развитие умственных операций (обобщение, сравнение, анализ, синтез); развитие познавательного интереса;
  • развитие психических процессов мышления, смысловой памяти, аргументированной речи, доказательного воспроизведения в процессе деятельности;
  • развитие творческих способностей учащихся.

3. Воспитательные:

  • воспитывать доброжелательность, дисциплинированность, взаимоуважение, трудолюбие;
  • воспитывать ответственность за свой учебный труд; воспитывать культуру ученического труда;
  • развитие эстетических норм и качеств.

Оборудование:

  • мультимедийный проектор, графопроектор;
  • карточки с заданиями для групп;
  • слайды с выполненным домашним заданием;
  • чистая плёнка для выполнения заданий;
  • условия заданий на плакатах.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Проверка домашнего задания.
  3. Устная работа.
  4. Работа в группах.
  5. Защита выполненных заданий.
  6. Итог урока, задание на дом.

Ход урока

1. Организационный момент.

Организую детей на урок, объявляю тему урока и ставлю цель перед учащимися.

Сегодня на уроке мы заканчиваем изучение темы «Непрерывность функции», поэтому каждому из вас предоставляется такая возможность: провести небольшое исследование и с полученными результатами познакомить нас.

2. Проверка домашнего задания.

Через мультимедийный проектор предлагается решение домашнего задания. Ребята, обменявшись тетрадями, проверяют и выставляют оценки.

3. Устная работа.

Восстановить в памяти определения:

3.1. Какая функция называется непрерывной в точке?

Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и её lim x→a f (x) = f (a).

3.2. Какая функция называется непрерывной на отрезке?

Если функция непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на всём отрезке.

3.3. Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке а, то что можно сказать о их сумме, произведении и о частном?

f (x) + g (x) – непрерывная функция; f (x) * g (x) – непрерывная функция; – непрерывная функция, если g (x) ≠ 0.

3.4. Что вы можете сказать о непрерывности рациональной функции?

Рациональная функция непрерывна на области действительных чисел.

3.5. Что вы можете сказать о непрерывности дробно-рациональной функции?

Дробно-рациональная функция непрерывна на своей области определения.

3.6. Какими свойствами обладают непрерывные функции?

а) Если f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то она обращается в нуль хотя бы в одной точке этого отрезка.

б) Если функция f (x) непрерывна на интервале (a;b) и не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то она имеет один и тот же знак во всех точках данного интервала.

4. Работа в группах.

Класс разделён на группы по 4 человека. Каждой группе выдано задание. Учащиеся выполняют задания на плёнке и представляют его через графопроектор.

1 группа. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте схематически график.

Решение. Каждая отдельная функция, входящая в исходную, непрерывна, следовательно, разрывы могут возникнуть лишь в точках, при переходе через которые одно выражение сменяется другим, т.е. в точках x = –1 и x = 2. Рассмотрим, как ведёт себя функция в окрестности точки x = –1.

1) x = –1

lim x→–1–(x + 5) = 4

lim x→–1+(x2 + 3) = 4

Следовательно, в точке x = –1 функция непрерывна.

2) x = 2

lim x→–2–(x2 + 3) = 7

lim x→–2+(3x + 5) = 11

Следовательно, в точке функция имеет разрыв I рода.

Рисунок 1

2 группа. Найдите область определения функции.

Решение. Так как арифметический квадратный корень можно вычислить из неотрицательного числа, то

Вводим функцию

Находим нули функции f (x) = , тогда x2 + 7x + 12 = 0; по теореме Виета и обратной к ней:

x1 + x2= –7

x1 * x2= 12

получаем x1 = –3, x2 = –4

Рисунок 2

3 группа.

а) Докажите, что

б) Вычислите:

а) В знаменателе дроби под знаком предела стоит сумма членов арифметической прогрессии, поэтому её можно записать как тогда

б)

 

4 группа. Докажите, что уравнение x3 – 3x + 1 имеет корень на отрезке [0; 1] и найдите его с точностью до 0,1.

Решение. Введём функцию f (x) = x3 – 3x + 1, она непрерывна на всей числовой прямой, а её значения f (0) = 1; f (1) = –1.Так как функция разных знаков на концах отрезка, то на этом интервале она может обратиться в нуль хотя бы в одной точке. Разобьем интервал [0; 1] на более мелкие отрезки и составим таблицу:

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f (x) 1 0,408 –0,135 –0,584 –0,888 –1

Вывод. Так как функция меняет знак на отрезке [0,2; 0,4], то корень уравнения с точностью до 0,1 будет равен x = 0,3.

Ответ: x = 0,3.

5 группа. Решить неравенство:

Решение. Вводим функцию

Найдём нули функции f (x) = 0, следовательно, (x – 2)3(x + 5) = 0, тогда x = 2, x = –5.

Рисунок 3

5. Защита выполненных работ.

6. Подведение итогов, задание на дом: №254(в, г); №250(в, г).