Урок обобщающего повторения по теме "Производная. Геометрический смысл производной. Задачи с использованием графика производной" (11-й класс, 2 часа)

Цель урока:

• обобщить теоретические знания по теме: «Производная. Геометрический смысл производной»;
• рассмотреть решение задач, связанных с этой темой, базового и повышенного уровней сложности;
• организовать работу учащихся по указанной теме на уровне соответствующем уровню уже сформированных у них знаний.

Оборудование:

• компьютер;
• мультимедийный проектор;
• экран.

Примеры и задания (pdf)

В данной работе мною рассмотрены все возможные виды заданий с использованием графика производной, что были предложены в работах ЕГЭ, начиная с 2003 года по настоящее время.

Все задачи я разделил на несколько типов, связанных общим вопросом.

1. Задачи на нахождение длины промежутка возрастания – убывания функции.
2. Задачи на нахождение точек максимума – минимума, числа таких точек.
3. Задачи на нахождение наибольшего – наименьшего значения функции на промежутке.
4. Задачи, связанные с угловым коэффициентом касательной.
5. Различные задачи на использование графика производной.

Ход урока.

I этап урока – организационный (1 мин.) Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

II этап урока – повторение теоретического материала по теме «Производная. Геометрический смысл производной». (7 мин.)

III этап урока – разбор решения задач (вначале указывается теоретический материал по данному вопросу) с последующим самостоятельным решением подобных упражнений.

IV этап урока – самостоятельная работа.

Примеры решения и оформления типовых заданий ЕГЭ:

1. Найдите длину промежутка возрастания – убывания функции:

Теоретический материал:

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f `(х)≥0 (причём равенство f `(х)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f `(х)≤ 0 (причём равенство f `(х)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

<Пример 1>

Задания для самостоятельного решения:

<Рисунок 1> Ответ: 6

2. Найдите число точек экстремума:

Теоретический материал:

Для удобства условимся, внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, - критическими.

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = . Тогда:

а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < выполняется неравенство f `(x)<0, а при х >выполняется неравенство f `(x)>0, то х =  – точка минимума функции y = f(x);

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < выполняется неравенство f `(x)>0, а при х >выполняется неравенство f `(x)<0, то х =  – точка максимума функции y = f(x);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки  знаки производной одинаковы, то в точке  экстремумов нет.

<Пример 2>

<Пример 3>

<Пример 4>

Задания для самостоятельного решения:

<Рисунок 2> Ответ: 2

<Рисунок 3> Ответ: 5

<Рисунок 3> Ответ: – 2

3. Найдите наибольшее – наименьшее значение функции на промежутке:

Теоретический материал:

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего и своего наименьшего значений.
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

<Пример 5>

<Пример 6>

Задания для самостоятельного решения:

<Рисунок 5> Ответ: – 5

4.1. Найдите угловой коэффициент касательной, значение производной в точке касания:

Теоретический материал:

Исходя из геометрического смысла производной, если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то f `(а) выражает угловой коэффициент касательной и поскольку k = tg, то верно равенство: f `(а) = k = tg.

<Пример 7>

<Пример 8>

Задания для самостоятельного решения:

<Рисунок 6> Ответ: 1,5

<Рисунок 7> Ответ: – 1

4.2. Найдите наибольшее – наименьшее значение углового коэффициента касательной:

<Пример 9>

4.3. Касательные параллельны некоторой прямой, найдите количество точек касания:

Теоретический материал:

Две прямые заданные уравнениями

 и  будут параллельны, если  и .

<Пример 10>

Задания для самостоятельного решения:

<Рисунок 8> Ответ: 1

<Рисунок 9> Ответ: 2

<Рисунок 10> Ответ: 3

5. Различные задачи на использование графика производной:

<Пример 11>

Задания для самостоятельного решения:

<Рисунок 11> Ответ: 1) 3

Самостоятельная работа. Вариант 1.

<Задача 1.1> Ответ: 3

<Задача 2.1> Ответ: 2

<Задача 3.1> Ответ: – 6

<Задача 4.1> Ответ: 2,5

<Задача 5.1> Ответ: 4

<Задача 6.1> Ответ: 2

<Задача 7.1> Ответ: 3) – 10

Самостоятельная работа. Вариант 2.

<Задача 1.2> Ответ: – 6

<Задача 2.2> Ответ: 1

<Задача 3.2> Ответ: 3

<Задача 4.2> Ответ: 4

<Задача 5.2> Ответ: 4

<Задача 6.2> Ответ: 2

<Задача 7.2> Ответ: 1) 2

Литература:

1. Материалы ЕГЭ 2003 – 2009 годов, издательства «Экзамен», «Просвещение», «Эксмо».
2. «Алгебра и начала анализа. Учебник 10-11 классы», А.Г. Мордкович, Мнемозина, Москва, 2005.
3. «Алгебра и начала анализа 10-11.», А.Н.Колмогоров и др., «Просвещение», Москва, 2008.
4. «Тематические тесты. Математика ЕГЭ – 2009», под редакцией Ф.Ф.Лысенко, «Легион», Ростов-на-Дону, 2008.
5. «ЕГЭ-2009 Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся», «Интеллект-Центр», Москва, 2009.