Факультативное занятие по алгебре и началам анализа в 10-м классе по теме "Неравенство Коши–Буняковского и его применение при решении задач"
Цели занятия:
-
Обучающая:
- познакомить учащихся с исторической справкой биографии математиков Коши и Буняковского;
- с неравенством Коши - Буняковского в алгебраической и векторной формах.
- Развивающая: формировать умения применения данного неравенства при решении заданий частей В и С КИМов на ЕГЭ.
- Воспитывающая: развивать умения самостоятельного поиска решения, уверенности в своих силах, чувства гордости за выполненное задание, навыки работы в парах, трудолюбие и активность.
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Вступительное слово учителя
- На предыдущих занятиях мы занимались решением тригонометрических уравнений из КИМов ЕГЭ части С, выполняли задания части А, связанные с тригонометрическими функциями. Давайте поработаем по данной теме устно.
II. Устная работа с классом
1) Выполнить задания вариантов 1, 2, 3 I части (сборники КИМов ЕГЭ 2008)
2) Вопрос классу: Чем вы пользовались при выполнении данных заданий? (Применением ограниченности функции)
3) Работа учащихся по решению, записанному на доске: найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = - 3cos x - 4sin x на области определения.
Решение:
D(y) = R
y = - 3cos x - 4sin x
y = -3 [-1; 1] - 4 [-1; 1]
y = [-3; 3] - [-4; 4]
y = [-7; 7]
Наибольшее значение функции равно 7 и наименьшее значение функции равно -7.
4) Вопрос классу: согласны ли вы с данным решением?
III. Письменное решение задания
Наибольшее значение функции равно 5 и наименьшее значение функции равно -5.
2) Но это задание можно решить и другим способом, если мы будем знать неравенство Коши - Буняковского, поэтому сегодня мы будем работать по теме «Неравенство Коши - Буняковского».
IV. Изучение теоретической части
1) Иначе это неравенство называют «замечательным неравенством», у него существует две записи: алгебраическая и векторная.
2) Исследованием его «замечательности» занималась выпускница 11а класса Белова Александра. Она в своей научно - исследовательской работе с помощью одноклассников пришла к выводу: «Данное неравенство позволяет сэкономить время на ЕГЭ при решении заданий части В и С».
3) Сейчас я приглашаю Александру, которая, используя фрагменты своей работы, поможет вам в изучении этой темы.
а) Белова Александра в своей презентации знакомит учащихся с:
1) исторической справкой биографий Коши и Буняковского;
2) целями и задачами данного исследования;
3) записью неравенства Коши - Буняковского в алгебраической форме;
4) записью неравенства Коши - Буняковского в векторной форме.
б) Далее ученица показывает применение неравенства к решению предыдущего задания, выполненного с применением ограниченности функции.
Работа на доске:
Проверяет эту реализацию ученик у доски.
Так как уравнение разрешимо, то равенство реализовано.
Наибольшее значение функции равно 5 и наименьшее значение функции равно -5.
4) А сейчас решим следующее задание из части В:
Найдите наибольшее значение функции 
а) Слово учителя:
Выполняем данное задание с применением дифференциального исчисления, алгоритм которого лежит у вас на столах. Давайте познакомимся с ним (чтение вслух).
1 ученик у доски находит область определения функции.
2 ученик находит производную функции.
3 ученик находит критические точки функции.
4 ученик находит наибольшее и наименьшее значения функции.
Ответ: max y = y(2) = 6
б) Далее Александра показывает учащимся второй подход к решению этого задания: применение неравенства Коши - Буняковского
Проверим реализацию равенства:
2x = 4
x = 2 => уравнение имеет решение, значит наибольшее значение функции равно 6 при x = 2.
в) Вопрос классу: Какой из предложенных способов вам кажется более доступным и почему?
5)Учитель делает вывод, используя наглядную таблицу:
Решая задания данного типа, мы еще найдем нестандартные способы и расширим нашу таблицу.
V. Закрепление теоретической части
1) Ученица показывает на слайдах применение неравенства Коши - Буняковского при решении системы уравнений
и делает вывод о том, что трудность данного способа заключается в выборе координат векторов a и b.
VI. Заключение
1) Учитель показывает научно-исследовательскую работу Беловой Александры (Приложение) и предлагает учащимся 10 класса более подробно познакомиться
с ней для получения дополнительных знаний, которые будут необходимы при подготовке их к написанию тестовых заданий 2 и 3 частей КИМов ЕГЭ.
Работа по данной теме будет продолжена Беловой Александрой на следующем двухчасовом факультативном занятии.