Цели:
- школьники должны усвоить полностью связь между
числами
и
треугольником Паскаля; - изучить бином Ньютона.
План занятия:
- Организационный момент.
- Проверка домашнего задания.
- Объяснение нового материала.
- Решение упражнений.
- Домашнее задание.
Ход урока
1. Определить закономерность, по которой составлена данная последовательность чисел:
Согласно найденной закономерности составить ещё одну, седьмую строку.
Решение: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 71
2. Вычислить:
Решение: 
Пронумеруем строки треугольника Паскаля, и
числа, стоящие на соответствующих местах, кроме
первого и последнего. Что Вы заметили? Например,
числа 
равны
числам, стоящим соответственно на 1-м, 2-м, 3-м
местах в шестой строке.
План города имеет схему, изображенную на рис.1. На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх". Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки А в точку В?
Решение:
Для удобства назовем улицей отрезок
изображенной сетки, соединяющей два соседних
узла. Ясно, что каждый маршрут содержит ровно 13
улиц, причем 8 из них расположены по горизонтали,
а 5 - по вертикали. Сопоставим каждому маршруту
последовательность букв Г и В следующим образом:
при прохождении "горизонтальной" улицы
маршрута будем дописывать в последовательность
группу Г, а при прохождении "вертикальной"
улицы - букву В. Например, маршруту, выделенному
на рис. 1, соответствует последовательность:
ГВВГГГВГГВВГГ. Каждая последовательность
содержит 13 букв --8 букв Г и букв В. Осталось
вычислить количество таких последовательностей.
Последовательность задается выбором из 5 мест, на
которых в неё стоя буквы В (или набором из 8 мест,
на которых стоят буквы Г). Пять мест из 13 можно
выбрать 
способами. Поэтому, число возможных
последовательностей, а значит, и число возможных
маршрутов, равно:
Указание: Бином Ньютона является обязательным элементом математического образования.
3. Разложить степень 
Решение:
Воспользуемся коэффициентами пятой строки
"треугольника Паскаля", получим: 
В правой части данного разложения сумма показателей степеней х и у в каждом слагаемом равна пяти. Показатель степени величины х в каждом последующем слагаемом уменьшается на единицу от своего максимального значения в первом слагаемом до нуля в последнем слагаемом, а показатель степени величины у, наоборот, в каждом последующем слагаемом возрастает на единицу от нуля в первом слагаемом до своего максимального значения в последнем слагаемом.
4. Разложить степень 
Решение:
Запишем данную степень в следующем виде:
Замечание:
Таким образом, в разложении степени разности двух величин знаки плюс и минус чередуются.
5. Используя формулу биномиальных
коэффициентов, определить 
в разложении степени
Решение:
Для вычисления коэффициента в формулу поставим значения m=5, k=0, получим:
Для вычисления коэффициента 
в формулу подставим значения m=5,
k=3, получим: 
Указание:
Легко видеть, что коэффициенты разложения, найденные с использованием формулы, совпадают с коэффициентами, которые были получены с помощью "треугольника Паскаля" для данной степени в задаче 3.
Ответ: 
Домашнее задание.
1. Чему равна сумма биномиальных коэффициентов разложения степени m, если х=1, у=1?
Решение:
т.е. сумма
всех биномиальных коэффициентов разложения
степени m равна 2m
2. 6 ящиков занумерованы от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
Решение:
Выложим шары в ряд. Для определения расклада
наших шаров по шести ящикам разделим ряд пятью
перегородками по шесть групп: первая группа для
первого ящика, вторая для второго и т.д. Таким
образом число вариантов раскладки шаров по
ящикам равно числу способов расположения пяти
перегородок. Перегородки могут стоять на любом
из 19 мест (между 20 шарами - 19 промежутков).
Поэтому число их возможных расположений равно 