В 2008-2009 учебном году на сайте Фестиваля педагогических идей «Открытый урок» опубликованы мои рекомендации по методике обучения решению одной из распространённых типичных задач на смеси, сплавы, растворы, когда из двух растворов разной концентрации одного и того же вещества получают третий раствор. Там же мы решили проблему экономии времени на решение задачи на экзамене (ЕГЭ и ГИА).
А сейчас я предлагаю провести урок обучения решению задач другого типа, которые можно объединить в одну группу из-за того, что поиск ответа на вопрос связан с выявлением закономерности изменения концентрации раствора в результате многократно повторяющейся операции. И вновь знание формулы поможет нашим выпускникам быстро справиться с решением подобного типа задач.
Задача. В сосуде, объём которого равен V0 литров, содержится раствор соли концентрации C0 . Из сосуда выливается a литров смеси и доливается a литров воды, после чего раствор тщательно перемешивается. Эта процедура повторяется n раз. Какова станет концентрация Cn соли в растворе после n таких процедур?
Решение. Заметим, что n не меньше 1. Рассмотрим последовательность концентраций раствора
C0 ; C1 ; C2 … Cn-1 ; Cn . В растворе концентрации Cn-1 находится Cn-1V0 соли, а в отливаемом объёме содержится Cn-1a соли. Рассчитаем содержание соли в последующем растворе (мы помним, что объём раствора не менялся), то есть Cn V0 . Составим уравнение Cn V0 = Cn-1V0 - Cn-1a,
Cn = Cn-1 (1 – а/V0 ) , что подтверждает факт наличия геометрической прогрессии.Это убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем (1 – а/V0 ), а потому Cn = C0 (1 – а/V0 )n. Задача решена.
Таблица
Распечатаем подобную табличку на каждого ученика и предложим детям список задач для закрепления знания формулы.
№1. Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 литр и долили 1 литр воды. В бутыли оказался 3%-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли? Ответ. 4/3 литра
№2. В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% -й раствор соляной кислоты? Ответ. 6 л
№3. (№13.432 Сборника задач под ред. М.И. Сканави) Из сосуда с водой отлили 1л воды и добавили 1 л кислоты. Затем отлили 1л смеси и добавили 1л кислоты и т.д. После того, как процесс был повторен 20 раз, оказалось, что смесь в сосуде состоит наполовину из воды и наполовину из кислоты. Сколько воды было первоначально в сосуде?
Ответ. 
/ (
- 1 ) л
№4. Из сосуда, до краёв наполненного глицерином, отлили 2 л глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания снова отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. Наконец, опять перемешали, отлили 2л смеси и долили 2 л воды. В результате этих операций объём воды в сосуде стал на 3 л больше объёма оставшегося в нём глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций?
Ответ. 0,5 л ; 3,5 л