Проект по математике "Нетрадиционные подходы к изученю функций в школе"

Цели проекта:

1. Образовательная:

• создание проблемных ситуаций при обучении математике, алгоритмике и эвристике;
• обучение учащихся элементам исследовательской деятельности;
• реализация самостоятельной работы учащихся с элементами творчества;
• обучение учащихся извлекать из математической теории практические выводы: создание прочных пространственных представлений о реальном пространстве.

2. Воспитательная:

• развитие навыков самостоятельного принятия решения, самостоятельной работы с научной литературой.

3. Развивающая:

• направление инициативы учащихся при решении задач на установление закономерностей;
• развивать умение учащихся работать в сотрудничестве, находить необходимую информацию, формировать своё собственное мнение, аргументировать его;
• развитие интуитивного представления не только непосредственно перед введением понятий, но и задолго до этого, раннее употребление соответствующих терминов, давая им наглядные представления;
• возможность «материализовать» математическое понятие, что очень важно для учащихся.

Создание проекта.

Среди учащихся 7-х – 8-х классов создалась группа школьников, увлеченных математикой, школьное научное общество учащихся:

• Конобеева Е.– 7 «А» класс.
• Данилова О.– 8 «А» класс.
• Терентьев А.– 8 «В» класс.
• Прун В. – 8 «А» класс.
• Измаилов К. – 7 «А» класс.
• Патваканян С. – 7 «А» класс.
• Кузнецова М. – 8 «В» класс.

Это участники олимпиад, школьных научно-практических конференций, имеющих помимо математических способностей, ряд чисто спортивных качеств: умение сконцентрировать свои знания в заданный, довольно ограниченный срок времени.

Перед членами школьного научного общества учащихся была выдвинута гипотеза:

а) Форму параболы принимает струя воды, бьющая из шланга, по параболе летит мяч или камень; выражаясь языком механики, парабола – это траектория движения материальной точки, брошенной в наклонном или горизонтальном направлении.

б) Картина движения Солнца по небесной сфере и описание зависимости момента захода Солнца от даты календаря имеет аналогию с понятием функции, когда каждому элементу х множества X ставится в соответствие ровно один элемент y множества У.

Каждому дню соответствует ровно один момент захода Солнца.

Деятельность группы учащихся по выдвинутым гипотезам организовывалась через моделирование, измерения, вычисления, выполнение рисунков.

Прун В., Данилова О., Конобеева Е. ознакомились со статьей «Что общего между заходом Солнца и функцией синус? (автор Х. Шенфельд, журнал «Математика» в школе № 2, 1993г.).

Учащиеся Терентьев А., Измаилов К., Патваканян С. наблюдали за характерным обликом параболы, проделали лабораторные работы: «От прямых к кривой», «Парабола как нитка с бусинками», «Парабола как след карандаша».

Ученица Кузнецова М. вышила «Параболу», ученик Прун В. подготовил сообщение: «Парабола - каноническое сечение».

Результаты контролировались по известным правилам, делались выводы, сообщения, сопоставления различных точек зрения.

Заключительный этап – обсуждение полученных результатов и подведение итогов работы, защита проекта, выводы для дальнейшей проектной деятельности.

Срок выполнения

Формы и сроки проведения защиты: май 2009 г. научно-практическая конференция.

Форма проекта (сборник кроссвордов, спектакль, фильм, методическое пособие, макет): методическое пособие с использованием чертежей.

Возможность применения в учебно-воспитательном процессе: при изучении свойств функции.

Интегральные связи (возможности интеграции с другими предметами): физика, астрономия, биология.

Часть 1

Введение

Психолого-педагогические основы раннего использования графиков при рассмотрении свойств функции на числовом аргументе.

Актуальность проекта

Трудно переоценить образовательное, воспитательное и практическое значение графика, как способа выражения функциональной зависимости. С построением графика связано изучение свойств функций, развитие мышления учащихся и решение целого ряда задач, убеждающих их в практической значимости теории. Есть основание утверждать, что позднее привлечение графиков на уроках математики при изучении функциональной зависимости, является серьезной причиной слабых знаний учащихся. Усмотреть свойства функции и запечатлеть их в памяти с помощью графика легче. Многочисленные примеры движений в окружающем мире позволяют обосновать практическую значимость математической теории. Учащиеся видят преломление абстрактных математических понятий в реальной действительности, что значительно расширяет их кругозор, делает предмет интересным для школьников, а их знания осмысленными и глубокими, неформальными.

В связи с этим, пересмотрев учебный материал школьного курса математики, я отобрала темы, где может быть введено раннее использование графиков, когда сначала изучаются конкретные физические явления, что облегчает рассмотрение функции на числовом аргументе. График как бы рождается постепенно на глазах у учащихся, а не задается в готовом виде.

В результате получилась подборка тем: «Квадратичная функция», «Тригонометрические функции», «Показательная функция».

Методика более полного использования графиков при изучении свойств функции: установление наличия различных видов пространственных движений в природе требует творческого подхода, переработки свойств функции в требуемом направлении, оформления в виде задач, в этом проявляется умение учащихся устанавливать связи с конкретными объектами реальной действительности, самостоятельно переносить приемы познавательной деятельности с ранее изученного, на вновь узнаваемое, видеть новую функцию знакомого объекта или находить известные свойства у новых объектов.

Учащиеся приводят много примеров движений, что способствует всестороннему развитию личности ученика. Раннее изучение графиков является важным средством, которое способствует глубокому изучению основных понятий, преодолению формализма в знаниях школьников.

Методология научного поиска – основа технологии развивающего обучения. При изучении математики, школьник должен усвоить не только содержание знаний, но и способы их получения.

Часть 2

Исходя из наблюдения картины движения Солнца по небесной сфере и описывая зависимость момента захода Солнца от даты календаря, учащиеся замечают, что множество точек расположено вдоль волновой линии.

Мой ученик Прун В. проделал работу для широт Москвы и Волгограда. Эта работа ученика натолкнула меня на мысль о проведения урока – защиты реферата. К нестандартному уроку стала тщательно готовиться: дала членам НОУ задания: выписать с помощью календаря время захода Солнца на широте Москвы, просила учащихся взять у работников гидрометеорологии данные о заходе Солнца на широте Волгограда, объяснила роль и задачи каждого ученика, учила работать с книжкой и другими источниками информации, приготовили таблицы, плакаты, модели параболы. Особое внимание уделила отработке требований к реферату. На уроке по защите реферата поставила перед собой цель: с помощью интересных форм работы повысить активность учащихся, добиться сознательного усвоения материала, учить учащихся умению слушать, работать над повышением грамотности устной и письменной речи учащихся.

Развивающаяся цель урока направлена на общее развитие учащихся предполагающее не только развитие их интересов, но и способностей.

Теоретическая часть урока: привожу полностью реферат, который был подготовлен к этому уроку учащимися

Требования к реферату:

1. Объем работы 5-7 стр.
2. Оглавление.
3. Введение.
4. Основная часть.
5. Заключение.
6. Рецензия учителя.
7. Список используемой литературы.
8. Цели и задачи реферата.
9. Содержание каждого раздела, имеющего самостоятельный заголовок.
10. Изложение материала должно логически переходить от раздела к разделу.
11. Разделы заканчиваются краткими выводами.
12. Использовать в докладе не менее 3-5 источников.

Реферат

Что общего между заходом Солнца и функцией синус?

В статье одного из учителей математики школы города Берлина «Что общего между заходом Солнца и функцией синус?» (Журнал «Математика в школе» № 2, 1993 г.), автор рассказывает, как его ученики изучают первоначальные сведения о тригонометрических функциях нетрадиционным путем – исходя из наблюдений картины движения Солнца по небесной сфере и описывая зависимость момента захода Солнца от даты календаря.

Замечено – создается впечатление, что множество точек расположено вдоль волновой линии. Я сделал то же самое для широт Москвы и Волгограда.

Итак, «Что общего между заходом Солнца и графиком функции синус?»

В прямоугольной системе координат по оси ОХ откладывается дата захода Солнца в месяцах, по оси ОУ – время захода Солнца в часах.

Ось абсцисс совмещается со средним временем – 18 часов, т.к. при сложении всех временных отрезков, а затем делении полученной суммы на 12 месяцев, в среднем выходит 18 часов.

Заход Солнца в Берлине

Рисунок 1 – «Заход Солнца в Берлине».

Заход Солнца в Волгограде

Рисунок 2 – «Заход Солнца в Волгограде».

Мне стало интересно, и я проделал эту же работу для широты Москвы и Волгограда. С помощью календаря отметил момент захода Солнца на первое число каждого месяца и соединил полученные точки плавной линией (момент захода Солнца с 26 марта по 30 сентября взят без учета перевода стрелок часов на летнее время). Есть возможность уточнения этой линии – если нанести на график еще по 15 (или даже по 30) точек в течение каждого месяца, считая месяц округленно по 30 дней.

Заход Солнца в Москве

Рисунок 3 – «Заход Солнца в Москве».

Аналогии со свойствами функций

Каждому дню соответствует ровно один момент захода Солнца, день, когда Солнце не заходит (не существует). Таким образом, каждому элементу х из множества X соответствует только один элемент у из множества У.

Область определения

Солнечная система существует если не вечно, то достаточно долго, как в прошлом, так и в будущем, поэтому не будет грубой ошибкой считать, что область определения этой функции принадлежит числовому промежутку (- ∞; + ∞).

Область допустимых значений

Опыт показывает, что момент захода Солнца для данной географической широты лежит в заданных границах - например, в Москве от 16.09 до 21.14. Заход Солнца на этой широте невозможен, например, в 13.00 или 7.00. То же относится и к функции у = sin х, | у | ≤ 1, и к функции у = a sin х, | у | ≤ а.

Действительно, построив кривую зависимости момента захода Солнца для Берлина, можно получить аналогичный график для более высоких широт путём вертикального растяжения, а для более низких широт - путём сжатия имеющейся кривой.

Наименьший период

Легко увидеть, что по истечении года все моменты захода Солнца повторяются в той же последовательности. Причина этих повторений – полный оборот Земли вокруг Солнца за год, считаемый для простоты за 365 дней. Таким образом, при графическом изображении функции вполне достаточно ограничиться одним периодом, например, с 1 января по 31 декабря.

Промежутки монотонности

Приблизительно с 21 декабря по 21 июня продолжительность светлого времени суток, или, точнее, времени, когда Солнце находится над горизонтом, возрастает, заход Солнца с каждым днём всё позднее, а после 21 июня и до 21 декабря, наоборот, убывает.

Нулевые точки (корни)

Начало астрономической осени, как и начало весны, соответствуют нулевым значениям функции – «узлам» волновой линии.

Можно также изготовить аналогичную таблицу (или график) для момента восхода Солнца.

Рисунок 4 – «Восход, заход Солнца».

Можно привести ряд примеров, включая механические колебания, движения при плавании; движения ползущей змеи (рисунок 5), движения китов, дельфинов (рисунок 6) и т.п., графики движения получаются в результате наблюдений из повседневной жизни, они идут по волновой линии.

Рисунок 5 – «Змея».

Рисунок 6 – «Дельфины».

Рецензия

Ученик проявляет интерес к получению графиков функций в результате «нематематической» модели, связанной с повседневной жизнью, путем составления таблицы значений времени захода Солнца. Этот график как бы рождается постепенно на глазах учащихся, а не задается в готовом виде. Понятие и график функции у = sin х вводятся «нетрадиционным методом». Ученик размышляет творчески, строит аналогичные графики для пунктов, расположенных южнее или севернее. Строит графики восхода Солнца. Эту модель ему можно в дальнейшем увязать с курсом астрономии. Материал учеником излагается грамотно.

Перед тем, как изучать показательную функцию, можно опереться на эксперимент, который может быть проведен в школе. Проблема как изменяется скорость увеличения численности организмов в зависимости от этой численности. Экспериментальный график подтверждает, что эта скорость изменяется по закону:

у = у_о • е^at – где t – время, а – коэффициент пропорциональности.

Итак, защита реферата прошла, дана оценка проектной деятельности, сделаны выводы для дальнейшей проектной деятельности: что учащиеся умеют, чему должны научиться, какую пользу принесла исследовательская и совместная работа над проектом.

Ученики стремились распознать некоторую эталонную, стандартную ситуацию при нестандартном подходе к изучению функций в средней школе. После этого изучение графиков функций уже идет, как бы живым созерцанием получается некоторая информационная схема.

Литература:

1. Шенфельд Х. «Что общего между заходом Солнца и функцией синус?» журнал «Математика в школе» № 2, 1993 г.
2. Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа». Учебник 10-11 классов средней школы, Москва «Просвещение», 2007 г.
3. Смирнова И.М. «Необычный способ получения синусоиды» журнал «Математика в школе» № 3, 1993 г.