Цель урока: Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении тригонометрических уравнений: отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.

Оборудование: Мультимедийная аппаратура.

Методический комментарий. Обратить внимание учащихся на важность темы урока. Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести

отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ; решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.

Ход урока

Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).

Значения а	Уравнение	Формулы решения уравнений
	sinx=a
	sinx=a	уравнение решений не имеет
а=0	sinx=0
а=1	sinx= 1
а= -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	уравнение решений не имеет
а=0	cosx=0
а=1	cosx= 1
а= -1	cosx= -1
	tgx=a
	ctgx=a

При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.

Решение уравнений.

Задач 1. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

Далее имеем:

Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис.1)

Рис.1.

Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.

Ответ:

В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.

В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.

Задача 2, Решить уравнение.

Решение. Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.

Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)

Рис.2.

Из рисунка хорошо видно, что - решение исходного уравнения.

Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

3sin2x=10 cos²x-2

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx=10cos²x-sin²x-cos²x т.е. sin²x-9cos²x+6sinxcosx=0

, т.к. в противном случае sinx=0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin²x+cos²x=0.

Разделим обе части уравнения на cos²x. Получим tg²x+6tgx-9=0

Пусть tgx=t, тогда t²+6t-9=0, t₁=2,t₂= -8.

tgx==2 или tg= -8;

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

1) .

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = -1, получим - не принадлежит промежутку .

Значения к=-2,-3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку

Это

2)

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п=0 и п=2, а, следовательно, при п=-1,-2,…п= 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку .Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ:

Продолжение работы