Решение уравнений 3-й и 4-й степеней

Разделы: Математика

Цели:

  1. Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
  2. Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
  3. Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

Вопросы:

а) Чему равен остаток от деления многочлена рn (х) = аnхn + аn-1хn-1 + ... + а1х1 + a0на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?              

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х1;х2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

3

2

-4

8

-18

7

1

-1

-10

-5

ы

п

ф

р

й

л

0

н

и

ь

1 группа

Корни: х1 = 1; х2 = -2; х3 = -3; х4 = 6

Составить уравнение:

- b=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х4 - 2 х3 - 23х2 - 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р4(1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

 

1

-2

-23

-12

36

1

1

-1

-24

-36

0

-2

1

-3

-18

0

 

р3(x) = х3 -х2 -24x -36

р3(-2) = -8 -4 +48 -36=0, х2=-2

р2(x) = х2 -3х -18=0

х3=-3, х4=6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х1 = -1; х2 = х3 =2; х4 =5

Составить уравнение:

- b=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

-d=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

-8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

 

1

-8

15

4

-20

-1

1

-9

24

-20

0

2

1

-7

10

0

 

р4(1)=1-8+15+4-20=-8

р4(-1)=1+8+15-4-20=0

р3(x) = х3 -9х2 +24x -20

р3(2) = 8 -36+48 -20=0

р2(x) = х2 -7х +10=0 х1=2; х2=5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х1 = -1; х2 =1; х3 =-2; х4 =3

Составить уравнение:

-в=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

-d=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х4 - х3 - 7х2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

 

1

-1

-7

1

6

1

1

0

-7

-6

0

1

1

-1

-6

0

 

р4(1)=1-1-7+1+6=0

р3(x) = х3 - 7x -6

р3(-1) = -1+7-6=0

р2(x) = х2 -х -6=0; х1=-2; х2=3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х1 = -2; х2 =-2; х3 =-3; х4 =-3

Составить уравнение:

-b=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

-d=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х4 + 4х3 – 5х2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

 

1

4

-5

-36

-36

-2

1

2

-9

-18

0

-2

1

0

-9

0

 

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р3(х) = х3+2х2-9х-18 = 0

р3(-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р2(х) = х2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х1= -1; х2 =-2; х3 =-3; х4 =-4

Составить уравнение

-b=-10;b=10

с=35

-d= -50; d=50

е=24

х4 + 10х3 + 35х2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

 

1

10

35

50

24

-1

1

9

26

24

0

-2

1

7

12

0

 

p4 (1)≠0

р4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р3(х) = x-3 + 9х2 + 26x+ 24 = 0

p3(-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р2(х) = x2 + 7x+ 12 = 0

Д=49-48=1

 

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х1 = 1; х2 = 1; х3 = -3; х4 = 8

Составить уравнение

-b=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

-d=-3-24+8-24= -43; d=43

е= -24

х4 - 7х3 - 13х2 + 43x - 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -24.

 

1

-7

-13

43

-24

1

1

-6

-19

24

0

1

1

-5

-24

0

 

р = +1;±2;±3                                                                    

р4(1)=1-7-13+43-24=0

р3(1)=1-6-19+24=0                  

р2(x)= х2 -5x - 24 = 0

х3=-3, х4=8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х3 + 3х2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

Решение:

 

1

3

-13

-15

-1

1

2

-15

0

R=Р3(-1)=-1+3-m-15=0

-m- 13=0

m=-13

х3 + 3х2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х1 = - 1; Д=1+15=16

Р2(х) = х2+2х-15 = 0

х2=-1-4 = -5;

х3=-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. ( Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х3 - 3х2 + ах - 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р3(1) = Р3(-2)

Р3(1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р3(-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

4-a=-14-a

3a=-18

a=-6

x3 -Зх2 -6х + 12 + 6 = х3 -Зх2 -6х + 18

x2(x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х2-6) = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

х1=3 или х2 - 6 = 0

;

Ответ: -; ; 3 (Произведение 18) (Й)

4. Домашнее задание

1. Решить уравнение х3 - (2а + 1)х2 + (а2 + а)х - (а2 - а) = 0 , где а - параметр.

Решение:

Подбором находим х1 = 1 корень, а - любое число.

Р3 (1)=1-2а-1+ а2+а-а2 =0

 

1

-2а-1

а²+а

-а²+а

1

1

-2а

а²-а

0

Р2(х) = х2 -2ах+(а2 – а)=0

Р2(х) = 0;Д = а2 -а2 +а = а, Д >0

1)если а<0, то корней нет

2) а>0, х2 = а - √а; х3 = а + √а

3) а=0, х2 -0*х2 +0 = 0; х2 =0; х4=0

Ответ:

а<0; х=1

а=0; х=0; х=1

а>0; х=1; х=а ± √а

2. Составить уравнение

1 группа. Корни: -4; -2; 1; 7;

2 группа. Корни: -3; -2; 1; 2;

3 группа. Корни: -1; 2; 6; 10;

4 группа. Корни: -3; 2; 2; 5;

5 группа. Корни: -5; -2; 2; 4;

6 группа. Корни: -8; -2; 6; 7.