Урок алгебры в 7-м классе для дистанционного обучения детей с ограниченными возможностями "Формулы сокращенного умножения"

Вильданова Ильмира Фанисовна, учитель математики

Цель: научиться применять формулы сокращенного умножения при решении примеров, повторить материал.

План:

Ключевые слова.
Доказательство формулы суммы кубов.
Примеры.
Повторение.
Примеры с объяснением
Домашнее задание.

Ключевые слова: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов, сумма кубов, разность кубов.

Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй (a+b)²=a²+2ab+ b²

Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)²=a²-2ab+b²

Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a²-b²

Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. ( a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a²+ab+b²)=a³- b³

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть.

Пример. Докажите формулу a ³ + b ³ = ( a + b )( a ² – ab + b ² ).

Решение. Имеем ( a + b )( a ² – ab + b ² ) = a ³ – a ² b + ab ² + ba ² – ab ² – b ³. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a + b )( a ² – ab + b ² ) = a ³ + b ³, что и доказывает нужную формулу.

Пример. Упростите выражение (2 x ³ – 5 z )(2 x ³ + 5 z ).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x ³ – 5 z )(2 x ³ + 5 z ) = (2 x ³ ) ² – (5 z ) ² = 4 x ⁶ – 25 z ².

Ответ. 4 x ⁶ – 25 z ².

Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.

Немного теории.

Существует несколько способов разложения:

Вынесение общего множителя за скобки

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Способ группировки

Алгоритм разложение многочлена на множители способом группировки

Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
Вынести в каждой новой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Пример 1

Разложить на множители многочлен 36a6b3-96a4b4+64a2b5

Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4.

НОД(36,96,64)=4. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.

Итак, за скобки вынесем 4a2b3.

36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).

2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:

9a⁴ - 24a2b + 16b² = (3a²)² - 2·3a²·4b + (4b)².

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,

9a⁴ - 24a²b + 16b² = (3a²-4b)².

3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:

36a⁶b³-96a⁴b⁴+64a²b⁵= 4a²b³(3a²-4b)².

Пример 1

Разложить на множители многочлен 36a⁶b³-96a⁴b⁴+64a²b⁵

Решение (краткая запись)

36a⁶b³-96a⁴b⁴+64a²b⁵=4a²b³(9a⁴-24a²b+16b²) =4a²b³ (3a²-4b)²

Комбинируем два приема:

вынесение общего множителя за скобки;
использование формул сокращенного умножения.

Пример 2

Разложить на множители многочлен a² - с² + b² + 2ab

Решение:

Комбинируем два приема:

группировку;
использование формул сокращенного умножения

Пример 3

Разложить на множители многочлен y³– 3y²+ 6y – 8

Попробуйте его решить

Комбинируйте три приема:

группировку;
формулы сокращенного умножения;
вынесение общего множителя за скобки.

Решение:

y³ – 3y² + 6y – 8=(y³-8)-(3y²-6y) = (y-2)(y²+2y+4)-3y(y-2) = (y-2)(y²+2y+4-3y)=(y-2)(y2-y+4).

Комбинирование различных приемов

Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители

Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.

“Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

Увидеть” и попробовать выделить полный квадрат.

Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

За страницами учебника алгебры

Квадратное уравнение – это уравнение вида: ax²+bx+c=0 (где a=0)

Многочлен вида: ax²+bx+с – квадратный трёхчлен.

Коэффициенты: a, b, с (где с – свободный член)

Задание 1. Разложить на множители x²+5x-6, используя метод предварительного преобразования.

Внимание! Делители свободного члена.

Задание 2.

Разложить на множители x³+2x²-5x-6, используя метод предварительного преобразования.

Внимание! Делители свободного члена.

Пример 4

Разложить на множители n³+3n²+2n

Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n²+3n+2). Теперь к трехчлену n²+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:

n²+3n+2=n²+2n+n+2=(n²+2n)+(n+2)=n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).

Окончательно получаем:

n²+3n+2=n(n+1)(n+2).

Задание: самостоятельно попробуйте сделать краткую запись примера

Метод выделения полного квадрата

Пример разложить на множители квадратный трехчлен х²-6x+5

Первый способ.

Используем предварительное преобразование, обращая внимание на свободный член +5. Делители 5: +1,-1,+5,-5.

Представим –6x=–x+(-5x), а затем применим способ группировки:

x²-6x+5=x²-5x+5=(x²-x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).

Второй способ.

Применим метод выделения полного квадрата, для этого обратим внимание на удвоенное произведение 6х=2*х*3.

Значит полный квадрат будет справедлив для двух выражений х и 3.

x²-6x+5=(x²-2·x·³+32)-32+5 = (x²-6x+9)-9+5 = (x²-6x+9)-4 = (x-3)²-22=(x-3-2)(x-3+2) = (x-5)(x-1)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы научились использовать комбинацию различных приемов при разложение многочлена на множители. Попытались выработать план применения на практике.

При разложении многочлена на множители мы использовали следующие способы:

вынесение общего множителя за скобки;
группировка, в том числе с использованием предварительного преобразования;
использование формул сокращенного умножения;
выделение полного квадрата;
комбинирование различных приемов.

Домашнее задание. № 645, 654, 648(в,г).

19.05.2009