Конспект урока по теме "Существует ли взаимосвязь между свойствами функции и свойствами производной данной функции" (10-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 10

Цель урока: повторить свойства функций, сопоставить графики функции и ее производной, установить взаимосвязь между свойствами  функции ее производной. 

Оборудование кабинета: урок проводится в компьютерном классе, (учащиеся имеют возможность по одному или по двое работать на компьютере); проектор и экран; презентация к уроку (Приложение 4)

Продолжительность урока: 45 мин.

Ход урока

1. Организационный момент: выдается индивидуальное домашнее задание на опережение задачи с практическим содержанием по теме производная и ее применение (Приложение 1).

2.

1) Повторение свойств функций (фронтальный опрос – схема исследования функции).

2) Проверка навыка нахождения производной, знания графиков функций. Работа по карточкам в двух вариантах (Приложение 3). Установить соответствие между ячейками (А-буква русского алфавита) формула, задающая функцию; (1- цифра арабская) - график функции; (S – буква латинского алфавита) - производная функции; (IV- арабская цифра) - график производной функции. Ответ может быть таким A - 1 – S – IV. Задание выполняется на листочках с копиркой (проверка сразу после сдачи листочков – презентация на экране).

3. Вспоминаем схему исследования функций (презентация). Всегда ли легко определить все свойства функции? Постановка проблемы: Существует ли взаимосвязь между свойствами функции и свойствами ее производной?

Учащимся предлагается задание (распечатано для каждого ученика):

  • Найти производную функции.
  • Построить в программе Miсrosoft Excel график самой функции и график ее производной.
  • Найти по графику точки максимума и минимума функции, если они существуют.
  • Найти промежутки возрастания и убывания функции.
  • Найти точки, в которых у’=0.
  • Найти промежутки знакопостоянства производной (y’ < 0, y’ > 0).
  • Сохранить графики в своих папках.

В ходе выполнения задания учащиеся заполняют таблицу (заготовка таблицы выдается каждому ученику).

Функция на [-6;6] Промежутки возрастания Промежутки убывания Точки максимума и минимума Производная y/=0 y/>0 y/<0
y=2sin2x              
y=2x3+4x2-3x+1              
y=2cos0,5x              
y=x2+2x              
y=2x3 +2              
y= - 3x+9              

Заполненная таблица - Приложение 2.

4. Итоги урока. Анализируется содержание таблицы (презентация на экране), выдвигается гипотеза:

  • Промежутки возрастания функции совпадают с промежутками, на которых ее производная положительна.
  • Промежутки убывания функции совпадают с промежутками, на которых ее производная отрицательна.
  • Точки экстремума иногда совпадают с точками, где производная равна 0.
  • Требуется четкое математическое обоснование данных предположений.

На последующих уроках мы рассмотрим достаточные и необходимые признаки возрастания и убывания функции, существования экстремума функции вернемся к сохраненным графикам и проработаем их с учетом новых полученных знаний.

Литература

  1. П.Т. Апанасов, Н.П. Апанасов: Сборник математических задач с практическим содержанием, М.: Просвещение, 1987.
  2. А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю П. Дудницин и др. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов, М.: Просвещение, 2003.
  3. Математика, контрольные измерительные материалы ЕГЭ предыдущих лет
  4. Л.О.Денищева, К.А.Краснянская и др. Сдаем Единый Государственный Экзамен. Математика. М.: Дрофа, 2007.
  5. А.В. Белошистая, Математика. ЕГЭ. М.: Экзамен, 2005.
  6. Ф.Ф. Лысенко Тематические тесты. Математика. Ростов-на-Дону: Легион, 2008.