Использование логико-смысловых моделей при обучении математике. Методические рекомендации для учителей математики

Пояснительная записка

По мнению многих учёных, дальнейший прогресс человечества будет зависеть от скорости нахождения эффективных способов изучения информации, путей обработки и передачи её от предыдущих поколений к последующим.

Одной из главных тенденций современного образования является его гуманистическая направленность на развитие личности учащегося. Истинный гуманизм в образовании связан с устранением познавательных затруднений учащихся, с облегчением процесса понимания ими учебного материала, с необходимостью максимально развить их интеллектуальные способности.

Принципиальный путь развития образования проходит через усовершенствование образовательных средств. Но на данный момент уровень технологической, инструментальной обеспеченности педагога остаётся невысоким. Часто обучение нацелено на сообщение учащимся готовых знаний, поэтому развитию различных форм мышления не придаётся должного внимания, а творческий потенциал педагога реализуется не в полной мере.

Дидактические принципы обучения ориентируют учебный процесс на использование вспомогательных средств. Учёными и практиками одни дидактические средства создаются как материальная наглядность для поддержки предметной деятельности, другие – как знаково-символические модели для теоретического представления знаний. Все они отражают одномерные методики обучения; их объединяет недостаточно ясное представление о предмете, низкий уровень управляемости учебным процессом, опора преимущественно на механизмы памяти.

“Великая дидактика” Я. А. Коменского породила “великого немого” – традиционную бессловесную наглядность. Но сегодня удалось заставить его “говорить”, т.к. педагогическая наука и практика располагают новой технологией – технологией дидактических многомерных инструментов (ДМИ), автором которой является Штейнберг Валерий Эмануилович, доктор педагогических наук, кандидат технических наук, профессор Башкирского государственного педагогического университета.

Он утверждает, что дидактические инструменты должны быть многомерными (т.е. адекватными окружающему нас миру) и пригодными для совершенствования основных видов деятельности педагога (подготовительной, обучающей, аналитической, самообразовательной, поисково-творческой и т.д.).

Дидактические многомерные инструменты – это универсальные образно-понятийные модели для многомерного представления и анализа знаний на естественном языке в различных (внутреннем и внешнем) планах учебной деятельности. Конкретной реализацией ДМИ является логико-смысловая модель представления и анализа знаний на естественном языке (ЛСМ).

Модели эти являются многофункциональными, т.к. могут быть использованы на различных этапах обучения: при первичном знакомстве с новым материалом, при его закреплении, при обобщении и систематизации знаний, их коррекции и контроле.

Они позволяют устанавливать логические связи между объектами (понятиями) определённой учебной темы, а также связи внутрипредметные, необходимые при изучении так называемых “сквозных” тем. Гуманитарный фон моделей обеспечивается наличием в них межпредметных знаний, сведений из истории математики, примеров применения знаний в жизни. Поэтому можно утверждать, что такие модели выполняют не только образовательные, но и воспитательные функции в обучении.

Логико-смысловые модели обладают универсальностью, т.е. могут быть востребованы в преподавании любых учебных дисциплин, в любых учебных заведениях, в работе с учащимися различных возрастных групп, а также во многих сферах человеческой деятельности (в информационных технологиях, технике управления, патентоведении, в разработках по созданию искусственного интеллекта).

Изучив теоретические основы технологии ДМИ и опыт применения её в практической деятельности педагогов Уральского и Приволжского регионов, я решила создать свои логико-смысловые модели и использовать их в обучении математике учащихся старшего звена школы.

Цели моей работы – облегчить деятельность старшеклассников по усвоению, систематизации, повторению и использованию предметных знаний для более качественной подготовки их к итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ и обеспечить такой уровень знаний, который необходим выпускникам школы для осуществления их дальнейшей образовательной перспективы.

Предложенная работа представляет собой набор логико-смысловых моделей для познавательной учебной деятельности, методические рекомендации для учителей математики по составлению ЛСМ и использованию их в обучении математике.

Свою работу по использованию технологии ДМИ считаю эффективной, т.к. она в совокупности с применением других дидактических средств позволяет ежегодно добиваться полной успеваемости по предмету при качестве знаний до 65%.

Продолжением этой работы будет создание новых логико-смысловых моделей, содержащих как математические знания, так и интегрированные знания из различных учебных дисциплин. К этой работе планирую привлечь учителей математики нашей школы, студентов Соликамского пединститута, а также своих учащихся.

2. Методические рекомендации по созданию логико-смысловых моделей и использованию их при обучении математике

Одним из способов решения многих образовательно-воспитательных задач является использование дидактической многомерной технологии, инструментом которой является логико-смысловая модель представления и анализа знаний. Эта технология официально рекомендована Уральским отделением Российской Академии наук для применения в образовательных учреждениях Уральского региона.

Аналогами и прототипами ДМИ являются культовые знаки и символы с радиальными и круговыми графическими элементами (Приложение 1). Возможно, что с их помощью человек интуитивно пытался передать многомерность окружающего его мира, подчеркнуть высокую значимость символов. И это стало основанием для отнесения радиальных, круговых и словесных элементов к важным признакам ДМИ. Аналогами ДМИ являются и “опорные сигналы”, которые содержат понятийные, графические и символические элементы (Приложение 2). Но эти средства не обладают универсальностью, многомерностью и аутодиалогичностью; они понятны только их составителям, т.к. требуют двойного (прямого и обратного) перекодирования; процесс их разработки носит творческий, а не технологизированный характер. Возможно, поэтому “опорные сигналы” не получили широкого распространения в практическом образовании.

Основой конструкции логико-смысловой модели является опорно-узловая система координат солярного (радиально-кругового) типа с помещёнными на ней ключевыми элементами содержания учебного материала на естественном языке. По образцу такой системы координат можно представить любую тему по любому учебному предмету; помимо этого, по такому же образцу можно разложить содержание каждой координаты и каждого узла любой координаты (свойство фрактальности, т.е. самоподобия, модели). Модель – в самом широком смысле слова – любой мысленный или знаковый образ представляемого объекта; как правило, она играет роль минисправочника.

К моделям, выполняющим инструментальные функции в обучении, предъявляются требования, которые рекомендуется учитывать их составителям:

– чёткая структура и логически удобная форма представляемого знания; – “каркасный” характер (фиксация наиболее важных, узловых моментов); – универсальность (пригодность для решения широкого спектра задач); – психологическая поддержка пользователя (обеспечение режима самоорганизации).

При этом должны быть обеспечены полнота, логичность, компактность, удобство представления знаний, освещение гуманитарного фона.

Проектировщику ЛСМ необходимо действовать по следующему плану:

1) выбрать “каркас” (как правило, восьмилучевого вида);
2) определить круг изучаемых вопросов (тему, раздел знаний);
3) разбить тему на подтемы, т.е. сформировать смысловые группы;
4) сформулировать названия смысловых групп, расставить смысловые группы (координаты);
5) провести смысловую грануляцию знаний в каждой группе;
6) сформулировать названия опорных узлов и расставить их на координатных лучах;
7) выявить смысловые связи между объектами знаний.

При проектировании каждой темы в её состав включают следующие аспекты:

– этимологический (происхождение понятия);
– генетический (зарождение знания, его развитие, современное состояние);
– внутрипредметные и межпредметные связи знаний;
– прикладное значение знаний для человека, общества, природы;
отражение знаний в культуре, искусстве и т.д.

Возможности технологии дидактических многомерных инструментов:

– получить целостное представление об изучаемом объекте;
– осуществить связь между предшествующими и последующими темами курса;
– делить общие понятия на частные, выясняя при этом связи между ними  и закономерности;
– компактно и системно обучать структурированию знаний и логике;
– организовать самостоятельную работу учащегося над конкретной темой при выполнении им творческого, исследовательского задания;
– избавлять учащихся от механического запоминания, снимать стресс перед восприятием большого объёма учебного материала;
– сформировать новый взгляд на учебный предмет, на предметный курс, на жизнь в целом;
– технологизировать деятельность учителя и учащегося для значительного облегчения их совместной работы.

Мною спроектировано 10 логико-смысловых моделей по следующим темам курса математики старшей школы:

Предлагаю свой опыт работы с некоторыми из них

1) Геометрия становится методом осмысления и организации математической информации; понятия и факты геометрии постоянно используются при решении практических задач. Поэтому была создана модель “Портрет стереометрии” (Приложение 3). На уроке введения в стереометрию в 10 классе проводится вводное обобщение – целостное видение темы (“взгляд сверху”). Используя предметную наглядность (модели многогранников и тел вращения), с опорой на знания учащихся я знакомлю их с различными случаями расположения прямых и плоскостей в пространстве. Затем рассказываю об аксиоматическом построении геометрии, привожу факты из истории науки (в том числе из геометрии Н. И. Лобачевского). В заключение урока предлагаю учащимся привести примеры применения геометрических форм в окружающей жизни. После такой работы учащиеся наглядно представляют себе объём предстоящих знаний, последовательность изучения отдельных тем курса, связи между различными объектами знаний. Работа с моделью проводится систематически на протяжении всего времени изучения стереометрии. Использование модели позволяет сократить учебное время для изучения теории, а значит, уделить больше внимания решению задач (в том числе и прикладных). Появляется возможность знакомить учащихся с историей геометрической науки, с её ролью и местом среди других наук. Данная модель незаменима при обобщении знаний.

В перспективе планирую привлекать учащихся к составлению на основе данной модели новых моделей путём разворачивания содержания отдельных координат; например, составить модели по многогранникам (К 6), телам вращения (К 7), векторам (К 8) и т.д.

2) Тригонометрия – один из самых трудных для усвоения учащимися разделов школьной математики. Поэтому для её изучения создано 4 логико-смысловых модели.

Работа с моделью “Тригонометрия” (Приложение 4) проводится аналогично работе с моделью “Портрет стереометрии”, т.к. эта модель– это обобщённое представление знаний раздела. “Практические приложения” (К 7) модели рассматриваются на уроке-семинаре, где учащиеся выступают со своими сообщениями-презентациями. Содержание координаты “Виды заданий” (К 4) определяется с привлечением знаний учащихся.

Модель “Формулы тригонометрии” (Приложение 5) – это развёрнутая координата “Формулы” (К 2) модели “Тригонометрия”. Для осознанного и прочного усвоения тригонометрических формул (всего их более 40) выясняются логические связи между содержанием различных координат; учащиеся устанавливают, с помощью каких преобразований из одной группы формул получаются другие. Они учатся находить рациональные способы выполнения задания, решая его различными способами, т.е. применяя формулы различных групп.

Модель “Свойства sin, cos, tg, ctg” (Приложение 6) является расширенным содержанием координаты “Определение и свойства синуса и др.” (К 1) модели “Тригонометрия”. На ней представлены все свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, знание которых необходимо при выполнении различных заданий с тригонометрическими выражениями (упрощение, нахождение значений, сравнение и др.). Эта модель составлена на уроке вместе с учащимися после выполнения ими домашнего задания в группах.

Примером использования свойства фрактальности ЛСМ является модель “Синус угла” (Приложение 7). Своеобразный “портрет” синуса угла получается с помощью расширения содержания первого узла “sin ” на первой координате “Определение и свойства синуса и др.” (К 1) модели “Тригонометрия”. По аналогии с содержанием модели “Синус угла” учащиеся самостоятельно определяют содержание моделей для каждой из остальных тригонометрических функций.

Результатом усвоения учащимися содержания данного раздела является свободное владение ими изученным материалом, что проявилось в умении выполнять задания, виды которых представлены на координатах 4, 5 и 6 модели “Тригонометрия”.

3) Начала математического анализа в школьном курсе математики представлены двумя моделями: “Производная” (Приложение 8) и “Производная в задачах” (Приложение 9). Вторая является подробным изложением отдельных координат первой.

Привожу фрагмент урока “Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции”.

1. В начале урока проводится работа с термином “оптимальный”. Выясняется, что оптимальный вариант количества какой-либо величины – это наилучший вариант из возможных (на практике – это наименьшее или наибольшее из нескольких значений величины). Например, каждый человек находится в постоянном поиске оптимальных решений жизненных задач; чаще всего он думает, как выгоднее распорядиться имеющимися денежными средствами.

2. Аналогом решения жизненной задачи оптимизации является решение математической задачи нахождения наименьшего и наибольшего значений данной функции при заданных условиях, накладываемых на её аргумент. После рассмотрения различных случаев нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на промежутке, с помощью графиков функций делается вывод о том, что свои оптимальные значения функция принимает либо в критических точках, либо на концах заданного промежутка. Затем составляется алгоритм нахождения оптимальных значений функций, непрерывных (монотонных и немонотонных) на закрытом промежутке, при условии отсутствия их графиков. Этот алгоритм содержится на координате 6 (К 6) модели “Производная в задачах”. После этого решаются задачи на нахождение оптимальных значений различных функций, в том числе и прикладного характера (геометрические).

Для закрепления материала решаются задачи из вариантов КИМ ЕГЭ 2002-2008 г.г.

4) Модель “Уравнения” (Приложение 10) содержит обобщение знаний по теме, которая является сквозной. С помощью её можно устанавливать как внутрипредметные, так и межпредметные связи; решать уравнения различных видов как на разных возрастных ступенях, так и при реализации различных дидактических задач урока. Гуманитарный фон представлен содержанием координат “Применение” (К 7) и “История” (К 8). Данная логико-смысловая модель может быть использована при изучении уравнений с 5 по 11 классы, особенно она полезна при обобщающем повторения курса математики для подготовки к ЕГЭ.

5) Логико-смысловая модель “Симметрия” (Приложение 11) – это результат коллективного труда учащихся 11-го класса. Объединённые в группы, они самостоятельно определили содержание “многоликой” симметрии. Модель является отражением межпредметной интеграции знаний по конкретной теме, она имеет ярко выраженную прикладную направленность. Эта модель может быть опорой знаний по данной теме при подготовке выступления на конкурсе исследовательских работ. Она может использоваться учителем и учащимися при знакомстве с содержанием различных разделов математики на разных этапах её изучения.

Заключение

Моя работа по овладению технологией дидактических многомерных инструментов находится в самом начале. Несмотря на это, применение дидактической многомерной технологии на уроках математики помогает формированию у учащихся строго логического представления о предметной теме, разделе, курсе в целом; учит устанавливать естественные связи между различными учебными дисциплинами и решать прикладные задачи; позволяет алгоритмизировать учебно-познавательную деятельность; усиливает наглядность изучаемого материала; делает обратную связь оперативной; способствует более прочному запоминанию и облегчённому воспроизведению изученного материала; обеспечивает раскрытие воспитательного потенциала предмета.

Составление и применение логико-смысловых моделей характеризуют проектно-технологическую компетентность педагога и технологичность процесса обучения. Для эффективного применения технологии ДМИ учителю необходимо более глубоко изучить вопрос, уметь ранжировать (расставлять и упорядочивать) материал, заглянуть в “приграничные” области, в область смежных наук, представить стоящих за научным знанием учёных, показать практические приложения изучаемого материала, раскрыть воспитательный потенциал учебного предмета.

Научно обоснованная педагогическая технология только тогда даёт необходимые результаты, когда она одухотворена её соавтором и исполнителем – Учителем. Хочется надеяться, что предложенный опыт даст возможность коллегам попробовать свои силы в освоении данной технологии.