Материал для проведения математической эстафеты в 9-м классе

Одной из главных задач преподавания математики является воспитание интереса к предмету, развитие математического мышления. Наряду с методами, обеспечивающими активизацию познавательного процесса на уроках, решение этой задачи осуществляется в частности через проведение различных внеклассных мероприятий по математике. Одна из форм таких мероприятий - это математическая эстафета. Предлагаемые задачи с решениями помогут учителю сократить время для подготовки не только математической эстафеты, но и других математических конкурсов.

Правила "Математической эстафеты"

Эстафета - это командное соревнование по решению математических задач. Побеждает в нем команда, набравшая наибольшее количество очков. Задачи решаются в двух турах: подготовительном и основном. В начале игры все члены команд должны выстроиться в очередь (самостоятельно). По сигналу ведущего команды получают первую задачу и начинают ее решать.

Если команда решает, что задача решена, ее представитель, стоящий в очереди первым, предъявляет ответ судье. Если ответ правильный, то этот игрок переходит во 2 тур и получает там первую задачу 2 тура, а члены команды, оставшиеся в 1 туре, получают вторую задачу 1 тура. Если ответ неправильный - все игроки остаются на месте и решают вторую задачу 1 тура.

В дальнейшем, если члены команды, считают, что они решили очередную задачу, ответ предъявляет судье игрок, стоящий в очереди первым.

Если члены команды во 2 туре дали правильный ответ очередной задачи, команда получает 3 балла за эту задачу и все игроки, находящиеся во 2 туре остаются на месте. Если во 2 туре команда дала неправильный ответ, она получает 0 баллов за эту задачу, и игрок, стоящий в очереди первым возвращаются в 1 тур, где становится в конец очереди.

После того, как часть команды, находящаяся на каком-либо из двух туров, представила ответ очередной задачи или отказалась решать ее дальше, она получает новую задачу.

Начисление баллов. Баллы за решение задач 1 тура не начисляются. Правильное решение служит пропуском во 2 тур. За первую верно решенную во 2 туре задачу команда получает 3 балла. Если команда верно решает несколько задач подряд, то за каждую следующую задачу она получает на 1 балл больше, чем за предыдущую. Если же очередная задача решена неверно, то цена следующей задачи снова 3 балла и каждая следующая верно решенная стоит на 1 балл больше.

Игра для команды оканчивается, если

• кончилось время
• кончились задачи

Во время игры участникам запрещается:

а) использовать калькуляторы, сотовые телефоны, справочники и т.д.

б) выходить из помещения до окончания игры

в) громко разговаривать, шуметь и всячески нарушать дисциплину

г) оскорблять представителей других команд или судей.

За первое нарушение правил а)-г) команда получает официальное предупреждение, за каждое следующее нарушение команда получает 2 штрафных балла.

Спорные моменты, не указанные в настоящих правилах, разрешаются членами жюри.

1. Условия задач подготовительного тура

Задача 1. Из двух одинаковых железных проволок кузнец сковал по одной цепи. Первая содержит 80 одинаковых звеньев, а вторая - 100. Каждое звено первой цепи на 5 грамм тяжелее каждого звена второй цепи. Какова была масса каждой проволоки?

Решение. Пусть x - масса в граммах одного звена второй цепи. Тогда получаем уравнение:

80(х+5)=100х

Находим х=20 гр., тогда масса железной проволоки равна 100*20 гр.=2 кг.

Ответ: 2 кг.

Задача 2. Вычислите сумму +++:+

Решение.

k-е слагаемое исходной суммы имеет вид . Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим

Тогда исходная сумма примет вид

Ответ: .

Задача 3. Разбирается дело Брауна, Джона и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый сделал два заявления:

• Браун - Я не делал этого. Джонс не делал этого.
• Джонс - Браун не делал этого. Смит сделал это.
• Смит - Я не делал этого. Браун сделал это.

Было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий - раз солгал, раз сказал правду. Кто преступник?

Решение. Предположим, что Браун дважды солгал, тогда Браун и Джонс - преступники, что противоречит условию (преступник один). Предположим, что Браун два раза сказал правду, тогда из его высказываний следует, что Смит - преступник. Получаем, что Джонс два раза сказал правду. Значит, Смит раз солгал, раз сказал правду, но оба высказывания Смита ложные. Получили противоречие. Остается рассмотреть только один случай, когда Браун раз солгал, раз сказал правду. Предположим, что первое высказывание Брауна истина, второе - ложь. Тогда Джонс - преступник, Браун - невиновен. Смит соврал на счет того, что Браун не делал этого, значит, Смит солгал и насчет того, что он сам не делал этого. Значит, Смит - преступник. Получаем два преступника (противоречие). Получается, что Браун первый раз солгал, второй раз сказал правду, т.е. Браун преступник.

Ответ: Браун.

Задача 4. Из числа 100! вычисли сумму его цифр. Из полученного числа вычти сумму его цифр и т.д. до тех пор, пока не получилось однозначного числа. Чему равно это число?

Решение. Будем решать задачу не для 100!, а для произвольного натурального n. Пусть s(n) функция, заданная на множестве натуральных чисел, ставящая в соответствие каждому натуральному числу сумму его цифр. Если n делится на 9, то и s(n) делится на 9, а тогда и разность n-s(n) тоже делится на 9. Поэтому на каждом шаге, будет получаться число, делящееся на 9, на последнем шаге - однозначное число, а это либо 0, либо 9. Но 0 не может быть, т.к. тогда на предпоследнем шаге было однозначное число, чего быть не может. Следовательно, в конце получится цифра 9.

Ответ: 9.

Задачи 5 - 14 в Приложении 1.

2. Условия задач основного тура

Задача 1. Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны и которое кратно 8.

Решение. Запишем число, составленное из всех цифр подряд по убыванию: 9876543210. Будем переставлять последние цифры в этом числе таким образом, чтобы получилось число, делящееся на 8. Перестановкой 1 и 0 мы ничего не добьемся, т.к. число 9876543201 - нечетное, т.е. на 8 не делится. Переставляя 1и2, получаем число 9876543120, делящееся на 8.

Ответ: 9876543120.

Задача 2. Какое число, будучи прибавлено к девяти, даст свой ушестеренный квадратный корень?

Решение. Обозначим это число за х. Тогда . Решая квадратное уравнение относительно , находим =3 или х=9.

Ответ: 9.

Задача 3. Вычислите разность -.

Решение. Введем следующие обозначения: =a, =b. Надо найти а-b, причем . Запишем равенство а-b=. Находим а²+b²=6, ab=1. Тогда а-b==2.

Ответ: 2.

Задача 4. Один фонтан наполняет бассейн в 2 часа, другой - в 3 часа. Во сколько времени оба фонтана, действуя вместе, наполнят бассейн?

Решение. Решим задачу в общем виде. Пусть первый фонтан заполняет бассейн за t₁ часов, второй - за t₂ часов. Производительность первого равна , второго - . Вместе их производительность равна +. Тогда время t, за которое они вместе заполнят бассейн равно t=. Подставляя t₁=2, t₂=3, получаем t=1 часа.

Ответ: за 1,5 часа.

Задача 5. При скольких целых значениях числа n выражение будет натуральным числом?

Решение. Преобразуем =2+. Чтобы это число было натуральным, необходимо и достаточно выполнение двух условий: -2 и 3(n+6). У числа 3 только четыре делителя . Поэтому n+6= или n+6=, т.е. второе условие выполняется только для n=-9,-7,-5,-3. Первое условие выполняется только для n=-9,-5,-3.

Ответ: при трех значениях.

Задача 6. Найдите площадь трапеции с основаниями a и b (аb) и острыми углами при основании 60 и 30.

Решение. Пусть ВС=b, АD=a, ВАD=, СDA=30. Точки N и K - проекции точек В и С на АD соответственно, тогда АВN=30, КСD=60. Обозначим высоту трапеции за h, тогда ВN=СК= h, АN обозначим за х, тогда KD=а-b-х. Из подобия треугольников АВN и СDK (по двум углам) получаем, что AN*KD=BN*CK или

х(а-b-х)=h². (1)

Из треугольника АВN находим х=tg30h=. Подставляя х в уравнение (1), получаем =h². Из последнего уравнения находим h=(а-b). Тогда S(АВСD)= h=(а²-b²).

Ответ: (а²-b²).

Задача 7. Трапеции АВСD (АD) углы АВD и ВСD равны. Определите АВ и АD, если ВС=10, DC=15 и ВD=20.

Решение. Из подобия треугольников АВD и DСВ (по двум углам) получаем, что АВ= и АD=.

Ответ: АВ=30, АD=40.

Задача 8. Из А в В вышел путник. Одновременно с ним из В в А вышел второй путник. Оба они шли равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому оставалось идти еще 36 минут, а второму - 25 минут. Через сколько минут после выхода они встретились?

Решение. Без потери общности можно считать, что расстояние АВ равно 1. Пусть путники встретились через t минут. Тогда скорость первого равна , а скорость второго . За время t вместе они прошли 1. Получаем уравнение +=1, решая которое, находим t=30 минут.

Ответ. 30 минут.

Задача 9. Найдите три простых числа, если одно из них равно разности кубов двух других.

Решение. Пусть эти числа х ,у, z. Будем считать, что хуz, тогда z=у³-х³=(у-z)(у²+ух+х³). Число у²+ух+х² 3 и является делителем простого числа, значит, у²+ух+х²=z, а у-х=1. Есть только два простых числа, отличающихся на 1 - это 2 и 3, т.е. у=3, х=2, тогда z=3³-2²=19.

Ответ: 2,3,19.

Задача 10. Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в 8 раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли еще два ученика, и оказалось, что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько учеников в классе?

Решение. Обозначим число учеников в классе через х. Составим таблицу.

Число учеников, присутствующих сегодня, плюс число учеников, отсутствующих сегодня равно всем ученикам в классе. Поэтому (-2)+ (-2)=х. Откуда х=36 человек.

Ответ: 36 человек.

Задача 11. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что в любом множестве из n натуральных чисел найдутся два числа, сумма или разность которых делится на 7.

Решение. Докажем, что 5 наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи. Вначале покажем, что четырех чисел недостаточно. Рассмотрим множество, состоящее из чисел 1,2,3,7. Никакая сумма и никакая разность любых двух чисел из этого множества на 7 не делится. Докажем, все пятиэлементные множества натуральных чисел удовлетворяют условию задачи.

Разобьем множество натуральных чисел на 4 попарно непересекающихся множества:

1) множество натуральных чисел, делящихся на 7 без остатка;

2) множество натуральных чисел, дающих при делении на 7 остаток 1 или 6;

3) множество натуральных чисел, дающих при делении на 7 остаток 2 или 5;

4) множество натуральных чисел, дающих при делении на 7 остаток 3 или 4;

Так как чисел 5, а множеств 4, то по принципу Дирихле найдутся 2 числа, которые попадут в одно из этих множеств. Если эти два числа попали во множество 1, то их сумма делится на 7, т.к. каждое из этих чисел делится на 7. Если они попали во множество 2, то либо они дают одинаковые остатки при делении на 7 (оба дают остаток 1 либо оба дают остаток 6), тогда их разность делится на 7, либо дают разные остатки 1 и 6 при делении на 7, тогда их сумма делится на 7. Аналогично рассматривается ситуация, когда два числа попадают во множество 3 или во множество 4.

Ответ: 5.

Задача 12. Расставьте в записи скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.

Ответ: =66/9=22/3.

Задача 13. Найдите наибольший общий делитель чисел А=2²⁰⁰¹-1 и В=2¹⁹⁹⁸-1.

Решение. Воспользуемся алгоритмом Эвклида нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел.

НОД(А,В) = НОД(А-В,В) = НОД(72¹⁹⁹⁸,2¹⁹⁹⁸-1) = НОД(7,2¹⁹⁹⁸-1) = 7.

Пояснение: 2¹⁹⁹⁸-1 делится на 7, т.к. 2¹⁹⁹⁸ - 1=8⁶⁶⁶ - 1⁶⁶⁶ = (8-1)(8⁶⁶⁵+8⁶⁶⁴+:+8+1) = 7N, где N - некоторое натуральное число.

Ответ: 7.

Задача 14. К числу 1999 припишите по цифре слева и справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 33.

Решение. Рассмотрим число . Делимость на 33 равносильна делимости на 3 и на 11, т.е. число должно делиться на 3 и на 11. делится на 3, значит (а+b+1)3. делится на 1, значит, (-)11, т.е. (b-а+3)11. Последнее условие означает, что b-а+3=0 или b-а+3=11. Рассмотрим случай, когда b-а+3=0, тогда а=b+3 и из условия (а+b+1)3 получаем, что (2b+1)3, т.е. b=1,4,7. При b=1 получаем а=4, при b=4 получаем а=7, при b=7 получаем а=1о (уже не цифра!). Рассмотрим случай, когда b-а+3=11, тогда b=а+8, т.е. а=1, b=9, но тогда (а + b+1) на 3 не делится.

Ответ: 419991 или 719994.