Некоторые приёмы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий

Разделы: Математика

Некоторые приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий.

1.Замена нескольких слагаемых их суммой

a + b + c = a+(b +с)

274 + 305 + 95 + 125 = 274 + (305 + 95 + 125) = 274 + 525 = 799 (группу слагаемых заключаем с суммой, полученной в скобках, на основании сочетательного закона)

2. Перестановка слагаемых

а + b + с = (а +b) +с

3,18 + 2,09 + 5,82 = (3,18 + 5,82) + 2,09 = 11,09 (по переместительному закону находим ту сумму двух слагаемых, которую вычислить легче)

3. Замена нескольких множителей их произведением

а * Ь * с * d = (а * Ь) * (с * d)

(на основании сочетательного закона заключаем в скобки те множители, которые удобно умножить устно)

4. Перестановка множителей

а * b * с * d * е = (а * d) * (Ь * е) * с

5 * 25 * 7 * 4 * 20 = (5 * 20) * (25 * 4) * 7 = 100 * 100 * 7 = 700000

(на основании сочетательного закона и переместительного)

5. Умножение произведения на число

(а * b * с) * d = (а * d) * b * с = (d * b) * а * с =(d * с) * а * b

(0,25 * 46 * 0,3) * 0,2 = 0,25 * 46 * 0,3 * 0,2 = (0,25 * 0,2) * 46 * 0,3 = 0,5 * 46 * 0,3 = 2,3* 3 0 = 0,69

(на основании порядка действий, сочетательного закона и переместительного)

6. Применение распределительного закона умножения

(а + b) * с = ас + be, ас + be = (а + b) с

Упражнения

I n

  • 117 + 3 + 51 + 39 + 61;
  • 476 + 503 + 97 + 120;
  • 2,35 + 5,65 + 1,05 + 4,95;
  • 5,03 + 4,34 + 1,66 + 3;
  • 5 + 305+172

2 n

  • 15,1+0,009+1,01+0,9

3 n

  • 4 * 25 * 75 * 8,
  • 125 * 4 * 2 * 2 * 5,
  • 250 * 4 * 3 * 5 * 2 ,
  • 3,2 * 5 * 6,8 * 4

4 n

  • A.11.2 25 * 20 * 4 * 5 * 3,
  • 50 * 9* 10 * 3,
  • 500 * 12 * 2 * 10 *5,
  • 2,5 * 2,4 * 4 * 5 * 0,2.

Приемы, основанные на изменении результата действия в зависимости от изменения компонентов

1 Округление слагаемых

(если одно из слагаемых увеличить (уменьшить) на некоторое число, а другое слагаемое уменьшить (увеличить) на это же число, то сумма не изменится).

49996 + 5063 = (49996 + 4) + (5063 - 4) = 50000 + 5059 = 55059

2. Округление уменьшаемого или вычитаемого.

(если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится)

Упражнения 1п

  • 5720 + 288;
  • 499 + 1 07 + 40;
  • 8000 + 4167 + 1075;
  • 4,07 + 8,9;
  • 1 5, 65 + 2,19.

2 п

  • 5073 - 486;
  • 6027 - 4508;
  • 14059 - 2572;
  • 18,08 - 17,73

Приемы умножения и деления на целое число

1. (Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится)

  • 65 = 5 = (65 - 10): 2 = 650 : 2= 325
  • 706 * 500 = (706 : 2) * 1000 = 353 * 1000 = 353000

2. Чтобы умножить число на 25, 250 и т.д. нужно данное число умножить на 100, 1000 и т.д., а полученный результат разделить на 4.

  • 15 * 250 = (15 * 1000) : 4 = 3750

3. Чтобы разделить данное число на 5, 50 и т.д., нужно это число умножить на 2 и полученное произведение разделить на 10, 100 и т.д.

  • 85 : 500 = (85 * 2) : 1000 = 164 : 1000 = 0,164

4. Чтобы разделить данное число на 25, 250 и т.д. нужно это число умножить на 4 и полученное произведение разделить на 100, 1000 и т.д.

  • 54 : 25 = (54 * 4): 100 = 216 : 100 = 2,16

Применение приемов устного счета при выполнении письменных работ (387 + 240 - 287) * 50 - (471 + 354 + 29 + 146): 25

Используем переместительный и сочетательный законы сложения, приемы умножения на 50 и деление на 25.

  • ((387 - 287) + 240) * 50 - ((471 + 29 + ( 354 + 146)) : 25 = (100 + 240) * 50 - (500 + +500) : 25 = 340 : 2 *100 - 1000 : 25 = 17000 - 40 = 16960

Сложение столбцами

  • Cумма цифр каждого разряда складывается отдельно.
  • Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей сумы.

Умножение методом Ферроля.

Используется тождество:

1.(10а +в)(10с +d) = 100ас + 10(ad +вс) + Bd

37* 48 = 1776

а) 8*7 = 56 пишем 6, помним 5

б) 8*3 + 4*7 + 5=57 пишем 1, помним 5

в) 4*3 + 5 = 17 пишем 17

12*14=168

а) 2*4 = 8

б) 1*2+ 1*4 = 6

в) 1*1 = 1

125*23 = 2875

а) 3*5 = 15 пишем 5, помним 1

б) (3*2 + 2*5) + 1 =17 пишем 7, помним 1

в) (3*2 + 2*2) +1=8 пишем 8

г) 2*1 = 2 пишем 2

2. Используется тождество:

(10а+в)(10с +d) = 100а(а+ 1) + вс, где в + с = 10

13 * 17 = 221

а) 1* (1 + 1) = 2 пишем 2

б) 3 * 7 = 21 приписываем справа 21

204*206 = 42024 а) 20 * (20 + 1) = 420 пишем 420

б) 6 * 4 = 24 приписываем справа 24

3. Умножение чисел на 11

54*11 = 594

а) пишем 4

6) 4 + 5=9 пишем 9

в) пишем 5

124*11 = 1(1 + 2)(2 + 4) * 4 = 1364

Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующим

месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1.

Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

58*11 = 638

а) пишем 8

б) 5 + 8 =13 пишем 3, помним 1

4. Умножение на числа вида аа

(Умножить данное число сначала на а, потом на 11)

123*55 = (123*5) * 11 = 615*11 = 6(6 + 1)(5 + 1) * 5 = 6765

42*111 = 4(4 + 2)(4+2) *2 4662

86*11 = 7548

а) пишем последнюю цифру 8

б) 6 + 8 = 14 пишем 4, помним 1

в) (6 + 8) + 1 = 15 пишем 5, помним 1

г) 6 + 1 = 7 пишем 7

Умножение однозначного или двузначного числа на 37. Способ обоснован на равенствах дистрибутивности и этими равенствами можно упрощать процесс умножения во всех упомянутых случаях.

6*37 = 37*2*3 =222

8 * 37 = (6 + 2) * 37 = 222 + 74 = 296

45 * 37 = (48 - 3 ) * 37= 12 * 4 * 37 - 3 * 37 = 16 *3 *37 - 3 *37 = 3 *37 (16 - 1) =111*15 = 1665

5. Умножение на 5, 25, 125.

Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000

46 * 5 = 46 : 2 * 10 = 230

48*25 = 48:4*100=1200

32 * 125 = 32:8*1000 = 4000

Если множитель не делится нацело на 2, 4, 8, то деление производиться с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100, или 1000, а остаток - на 5, 25 или 125.

53 * 5 = 26 * 10 + 1 * 5 =265 (53 : 2 = 26 и 1 остаток)

43 * 25 = 10 *100 + 3 * 25 = 1075 (43 : 4 = 10 и 3 остаток)

6. Деление на 5, 25, 125. Умножить число соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

220 : 5 = 220*2:10 = 44

1300 : 25 = 1300*4: 100 = 52

9250 : 125 = 9250*8: 1000 = 74

Иногда удобно менять порядок действий выполняя сначала деление на 10, 100, 1000, а потом умножение.

7. Умножение на 9, 99, 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток, во втором множителе и из результата вычесть первый множитель.

289 * 9 = 2860 - 286 = 2574

23 * 99 = 2300 - 23 = 2274

18* 999=18000-18 = 17982

8. Возведение в квадрат двузначных чисел.

Используя свойство (50 + а)2 =100 * (25 + а) * а2

512 = 2601

а) 25 + 1 = 26 пишем 26

б) I2 = 1 приписываем 01

582 = 3364 а) 25+ 8 =33 б) 82 = 64

9. Использование формул сокращенного умножения (формула разности квадратов)

212 - 202 = (20 + 21)(21-20) = 41

142 - 132 = (14 - 13)(14 + 13) = 27 1022 - 552 = ?

(свойство можно использовать тогда, когда данные числа отличаются лишь на 1)

Литература.

  1. Е.А.Бугулов "Приемы быстрого счета".
  2. Журналы: "Математика в школе" №6, 1987г; №2, 1981 г.