Разработка уроков алгебры в 10-м классе по теме "Применение производной. Приближенные вычисления"

Урок 1

Основные задачи урока:

Сформировать у учащихся четкое представление о применении уравнения касательной к графику функции к решению прикладных задач, а именно: вычисления приближенных значений функции. Добиться приобретения и закрепления навыков применения формулы для вычисления приближенных значений квадратных корней и степенной функции. Развить на основе изучения примеров и решения упражнений из учебника вычислительные навыки и логическое мышление учащихся.

Содержание урока.

• I этап. Вывод формулы для вычисления приближенных значений функции – 10 мин.
• II этап. Отработка применения выведенной формулы учащимися – 10 мин.
• III этап. Вывод учащимися формул для приближенного вычисления значений функций у= и у= и применение их к решению упражнений – 15 мин.
• IV этап. Обучающая самостоятельная работа (тест), проверка первичного усвоения формул – 10 мин.

Ход урока.

На доске

1. Вводная часть. На одном из предыдущих уроков было выведено уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой .

Объяснение по графику и записи на доске: Каково взаимное расположение точек графика функции и точек касательной вблизи точки касания с абсциссой ? (Ответ: очень близко расположены). Что это означает? Если функция y= f(x) дифференцируема в точке , то значения функции в точках из окрестности точки  очень мало отличаются от значений функции, задающей уравнение касательной, и для всех значений х из окрестности точки  можно записать: f(x)≈ . Поскольку x, можно записать

f(x)≈x (1)

Как эта формула применяется? Пусть дана функция f(x)=+3- и надо найти её значение при х=2,03. Заметим, что при х = 2 легко вычислить f(2)= = 77.

Применяя выведенную формулу, получим: (далее все выкладки на доске записаны с помощью учащихся) f(x)=f(2,03),

==5·  x= х-= 2,03-2 =0,03;

f(2,03)=77+172·0,03=77+5,16=82,16.

Если произвести вычисления на калькуляторе, то получается f(2,03)=82,297634. Как видим, приближенное значение, полученное при помощи формулы, очень мало отличается от точного значения функции в данной точке.

2. Далее следует отработка метода вычисления значений функции на примере из учебника №261 (в), при этом обсуждается выбор значения  и записывается вычисление значения x.

3. Выведенную формулу можно применять не только для вычисления значений многочлена, но и для нахождения приближенных значений любой функции, дифференцируемой в точке

Рассмотрим функцию y=. Она дифференцируема на всей области определения, кроме x= 0, т.е. при x> 0. Поэтому можно найти приближенное значение , используя формулу (1).

Как выбрать значение  Чтобы можно было найти точное значение  , и мало. Ясно, что   = 2. )'= ,

=== x= 4,08 – 4 = 0,08. Итак, получим: f(4,08≈x=2+·0,08=2,02.

При выполнении вычислений в практических заданиях по физике и химии часто приходится находить значения функций y= и у= для значений аргумента, близких к 1. Выведем формулы для вычисления приближенных значений этих функций с помощью формулы (1).

Какие этапы необходимо выделить? Из формулировки задания ясно, что , y= и у=.

Затем надо найти  и , xдолжно войти в запись формулы. Задание дано по рядам:

1-й и 3-й ряды работают с функцией y=а 2-й ряд – с функцией у= При работе можно использовать примеры 1 и 2 на стр. 132 учебника . Результаты вычислений записать в таблицу. На доске одновременно с выделением этапов работы появляется таблица для заполнения:

После самостоятельной работы с учебником к доске вызываются учащиеся (по одному от каждого варианта), таблица заполняется и выделяются на доске окончательные формулы:≈ 1+x и ≈ 1+ n. /формулы (2) и (3).

Затем с другой парой учащихся проверяется решение №№263 (а) и 262 (а) по их записи на доске.

Следующий момент закрепления материала - рассмотрение задания, в котором значение аргумента не является близким к 1, но легко приводится к этому случаю:  (№263(б)) и №263(в), где <0.

4. Самостоятельная работа в форме мини-теста.

Учащимся раздаются листочки, на которых записаны буквы, соответствующие трём вариантам ответов. После выполнения вычислений в тетрадях учащиеся отмечают букву получившегося у них ответа и сдают листок учителю. Ответы подобраны таким образом, что учитель успевает за перемену определить характер ошибки каждого ученика.

Задание теста: вычислить с помощью формулы (1)

Урок 2.

Основные задачи урока: Добиться усвоения всеми учащимися основных вопросов теории на уровне программных требований. Закрепить полученные умения и навыки решения основных типов задач. Провести контроль усвоения материала.

Содержание урока:

• I этап. Обсуждение результатов тестирования, анализ допущенных ошибок – 2 мин.
• II этап. Применение выведенной формулы для функции y= в случае n<0, решение упражнений – 7 мин.
• III этап. Обучающая практическая работа (в группах) – 18 мин.
• IV этап. Подведение итогов урока, домашнее задание – 3 мин.
• V этап. Проверочная самостоятельная работа – 15 мин.

Ход урока

1. Объявление результатов тестирования, разбор правильных решений:

1 вариант.

1)  = ≈ 1 - ·0,0004 = 1 – 0,0002 = 0,9998;

2) =1+50·0,0003 = 1 + 0,015 = 1,015.

2 вариант.

1)  = ≈ 1 + ·0,0003 = 1 + 0,00015 = 1,00015;

2) = ≈ 1 + 20·(-0,002)= 1 – 0,04 = 0,96.

2. Рассмотрим ещё одно применение формулы ≈ 1+ nдля n<0.

Обсуждается пример 3 на стр.132 учебника [1].

Формула для нахождения производной степенной функции была доказана для целых значений n, значит, формула (3) может быть применена для n<0.

Решим № 266(а,б) учебника. Для решения к доске приглашаются учащиеся, допустившие ошибки при выполнении заданий теста, к обсуждению хода решения привлекаются учащиеся на местах.

3. Практическая работа.

Так как функции y = дифференцируемы для любого действительного значения аргумента, можно применить метод приближенных вычислений и для нахождения значений этих функций, а для функций тангенс и котангенс – для всех x из области определения каждой из них.

Вычислим приближенное значение °. Так как 1° - величина, близкая к 0, рассмотрим значения функции y =в окрестности точки

 = 1°- 0 = 1° =  ; f()= ; = ('=  ; =

Итак, °≈x = 0 + 1·x = . 𝝅 ≈ 3,1416…;  Поэтому °≈ 0,017453.

Отметим еще раз этапы выполнения практической работы.

1) Определить  так, чтобы можно было легко вычислить f(), т.е «табличное» значение тригонометрической функции.

2) Найти x.

3) Вычислить f().

4) Найти .

5) Подставить полученные значения в формулу (1).

Выясняем с классом, что в № 265 учебника значения x уже выделены в самом задании.

Учащиеся класса заранее разделены на 4 группы, каждая группа получает задание:

1 группа: № 264 (б), 265 (в);

2 группа: № 264 (а), 265 (б);

3 группа: № 264 (в), 265 (г);

4 группа: № 264 (г), 265 (а).

Через 3 – 5 минут после начала работы учитель подходит к каждой из групп, выясняет, какие встречаются затруднения, на каком этапе выполнение задания. В ходе собеседования с группами проверяется наличие у каждого учащегося наличие в тетради полной записи решения.

После проверки выполнения работы всеми группами объявляются результаты работы, анализируются наиболее распространенные ошибки.

4. Подведение итогов урока, домашнее задание: п.20 учебника, №№ 261(а,б), 263 (г), 266(в,г).

5. Проверочная самостоятельная работа по дидактическим материалам [2], варианты 1 – 8 (с учетом уровня усвоения материала учащимися).

Список литературы.

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. - 9-е изд. - . М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2000.
2. С.М.Саакян и др. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10 класса. М.: Просвещение 2001.