Отбор корней при решении тригонометрических уравнений в средней школе

Хачатурянц Зоя Саркисовна, учитель математики

Цель этой разработки показать, как можно объединять повторяющиеся корни и исключать посторонние корни при решении тригонометрических уравнений. При этом не предусматривается возможность применения числовой прямой или окружности.

Для лучшего усвоения темы неплохо ввести канторовское понятие множества и некоторые операции над множествами.

Множество S есть некоторое собрание определённых и различных между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S. Существенно то, что у Кантора собрание предметов мыслится как единое целое, как один предмет.

Так - множество целых чисел,

- множество чётных чисел, то есть чисел кратных 2.

{2n-1}; {2n+1}; {4n} - множество нечётных чисел.

{3n}- множество чисел, делящихся на 3.

{4n}- множество чисел, делящихся на 4.

{5n}; {6n}; {7n} и т. д.- множество чисел, делящихся на 5; на 6; на 7 и т. д.

{3n+2} или {3n-1}- множество чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

{4n}; {4n+1}; {4n+2}; {4n+3}- множества чисел, дающие при делении на 4 в остатке соответственно 0; 1; 2; 3.

Заметим, что {4n+3}={4n+4-1}={4(n+1)-1}={4n-1}. (n+1- также целое число и для удобства не будем менять букву)

Следовательно, множества чисел, дающие при делении на 4 в остатке соответственно 0; 1; 2; 3 можно записать так: {4n}; {4n1}; {4n+2}.

Говорят, что множество А включено в множество В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это записывают так АВ - строгое включение, или АВ – нестрогое включение.

Над множествами можно выполнять различные операции, мы рассмотрим две из них.

Объединение (сумма) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов принадлежащих одному из множеств. Объединение множеств обозначается так АВ={x/xA или xB}.

Очевидно, что {2n}{2n+1}={n}, здесь и далее n.

{3n}{3n1}={n};

{2n}{16n+2}={2n};

{4n+1}{4n-1}={2n+1};

{4n}{6n+5} так и останется;

{n}{8n-5}={n};

Вообще объединение множества целых чисел с любым его подмножеством, даёт множество целых чисел. Поэтому говорят, что множество целых чисел универсально.

Разностью множеств А и В называют множество, в которое входят элементы множества А, не являющиеся элементами множества В.

Обозначают так: А\В={x/x A,x B}.

Так {n}\{2n}={2n+1}. Из множества всех целых чисел вычитается множество чётных чисел, очевидно, что оставшееся множество-это множество всех нечётных чисел.

{n} \ {2n+1} = {2n};

{n} \ {3n1} = {3n};

{n} \ {4n} = {4n1}{4n+2};

{2n+1}\ {2n} = {2n+1};

{2n} \ {n} = , - пустое множество.

Выполним несколько упражнений на нахождение суммы и разности числовых множеств.

Задание №1

Найти {2n} {4n} и {2n} \ {4n}.

Решение

Выпишем элементы каждого множества

{2n}: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20;…

{4n}: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36;..

Из первого множества исключим те числа, которые содержатся во втором

{2n}: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20;…

{4n}: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36;..

Как видно в первом ряду остались числа: 2; 6; 10; 14; 18;…- полученная последовательность чисел представляет собой арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность прогрессии равна 4.

Запишем формулу общего члена полученного ряда. Для этого воспользуемся формулой а_n=а₁+d(n-1).

В нашем случае а_n=2+4(n-1) или а_n=4n-2.Таким образом формула общего члена последовательности 2; 6; 10; 14; 18;… - {4n-2}. Преобразуем эту формулу следующим образом 4n-2=4n-4+2=4(n-1)+2=4n+2. Итак,

{2n} {4n} ={4n+2} {4n}

Теперь вычислим разность этих же множеств А\В

Вновь выпишем элементы каждого множества

{2n}: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20;…

{4n}: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36;..

Из первого множества исключим те числа, которые содержатся во втором

{2n}: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20;…

{4n}: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36;..

Получим ряд 2; 6; 10; 14; 18;22;…- общий член, которой мы уже находили {4n+2}. Исходя из определения разности множеств, имеем,

{2n}\ {4n} = {4n+2}.

Задание №2

Найти сумму и разность следующих числовых множеств

{3к+1} и {2n}.

Решение

{3к+1}: 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; …

{2n}: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; …

Из первого ряда удалим те числа, которые имеются во второй последовательности. Получим следующие последовательности

{3к+1}: 1; 7; 13; 19; 25; …

{2n}: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; …

Первая последовательность – арифметическая прогрессия с общим членом {6m-5} или {6m-6+1}={6(m-1)+1}={6m+1}

Следовательно {3k+1}{2n} = {6m+1}{2n}. Очевидно, что разностью исходных множеств является множество чисел вида {6m+1}, то есть

{3k+1}\{2n} = {6m+1}, .

Решить самостоятельно:

Задание № 3

Найти а) {2n}{3n} и {2n}\{3n}.

б) {3n+1} {2n-1} и {3n+1} \ {2n-1}.

Перейдём к основной части работы, решим тригонометрические уравнения и покажем, как указанный приём поможет объединять корни и исключать посторонние.

Упражнение №1. Решить уравнение

Решение

Левую часть уравнения разложим на множители

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, следовательно

или

Решим отдельно каждое из уравнений. В первом случае , а во втором случае . Или

Если говорить “простым языком”, то в первом случае, повторяется чётное число раз, а во втором случае - нечётное число раз. Объединяя множество чётных и нечётных чисел, получаем множество всех целых чисел, поэтому окончательный ответ . Ответ:

Упражнение №2. Найти корни уравнения

Решение

Данное уравнение равносильно совокупности

или или . Объединим полученные ответы, записав первое множество решений так: .

{2n} {4n-1} {2n+1}= {n}, следовательно, общим решением уравнения является

Ответ:

Упражнение №3. Найти корни уравнения

Решение

Левую часть уравнения преобразуем, разложив её на множители

{2n+1}{2k}={m}, таким образом

Ответ:

Упражнение №4. Решить уравнение

Решение

Воспользуемся формулой разности косинусов, получим 2sin3xsin2x=0,откуда следует, что

{2k}: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;…

{3m}: 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27;…

Из второго ряда отбросим те числа, которые содержатся в первом ряду, получим следующую последовательность чисел:

3; 9; 15; 21; 27;…

Общий член этой арифметической прогрессии вычисляется по формуле

а_n=6m-3.

Тогда

Ответ:

Упражнение №5. Решить уравнение

Решение

Уравнение равносильно совокупности

Заметим, что если из множества всех целых чисел удалить множество всех нечётных чисел, то получим множество всех чётных чисел, то есть

{k}\{2r+1}={2}, но {4m+2} {2} (действительно числа вида {2} –множество вcех чётных чисел, а числа вида {4m+2} – тоже чётные, но лишь те, которые при делении на 4 дают в остатке 2. Очевидно, что

{4m+2} {2}).

Поэтому окончательный ответ или x=

Ответ:

Упражнение №6. Решить уравнение

Решение

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0 и не теряет при этом смысла.

Множество чисел вида {2k+1} то же самое, что и множество чисел вида {4r}. Поэтому, если из последнего вычесть множество чисел вида {4r-1}, то получим числа вида {4r+1}. Окончательно имеем .