Замечательные точки в треугольнике

Разделы: Математика

Цели урока:

1. Образовательные:

  • формировать конструктивные умения учащихся;
  • формировать умения строить серединные перпендикуляры, биссектрисы углов, медианы, высоты треугольника;
  • формировать представления о замечательных точках треугольника.

2. Развивающие:

  • развитие познавательного интереса учащихся;
  • развитие интеллектуальной, эмоциональной сфер личности.

3. Воспитательные:

  • воспитание организованности.

Содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий, обеспечивающих эстетическое отношение к действительности, понимание и оценку прекрасного в природе.

Техническое оснащение:

  • компьютеры;
  • CD «Живая геометрия».

Ход занятия

Презентация урока.

Работа на уроке проводится в форме индивидуальных практических заданий с помощью диска «Живая геометрия».

Рисунок.

I этап работы.

Работа в малых группах (в парах или индивидуально, в зависимости от количества учеников в классе).

Индивидуальное задание для I группы:

  • Постройте остроугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте для каждой стороны серединный перпендикуляр (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении серединных перпендикуляров?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Проведите отрезки ОА, ОВ, ОС. Выделите их цветом. Измерьте длины этих отрезков.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для II группы:

  • Постройте прямоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте для каждой стороны серединный перпендикуляр (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении серединных перпендикуляров?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Проведите отрезки ОА, ОВ, ОС. Выделите их цветом. Измерьте длины этих отрезков.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для III группы:

  • Постройте тупоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте для каждой стороны серединный перпендикуляр (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении серединных перпендикуляров?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Проведите отрезки ОА, ОВ, ОС. Выделите их цветом. Измерьте длины этих отрезков.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для IV группы:

  • Постройте остроугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте для каждого угла биссектрису (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении биссектрис?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Проведите перпендикуляры к сторонам треугольника. Выделите их цветом. Измерьте длины этих отрезков.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для V группы:

  • Постройте прямоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте для каждого угла биссектрису (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении биссектрис?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Проведите перпендикуляры к сторонам треугольника. Выделите их цветом. Измерьте длины этих отрезков.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для VI группы:

  • Постройте тупоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте для каждого угла биссектрису (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении биссектрис?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Проведите перпендикуляры к сторонам треугольника. Выделите их цветом. Измерьте длины этих отрезков.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для VII группы:

  • Постройте остроугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте все высоты треугольника (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении высот треугольника?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для VIII группы:

  • Постройте прямоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте все высоты треугольника (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении высот треугольника?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для IX группы:

  • Постройте тупоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте все высоты треугольника (стиль линии задать «пунктир»).
  • Что можно сказать о взаимном расположении высот треугольника?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для X группы:

  • Постройте остроугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте все медианы треугольника (стиль линии задать «пунктир»). Обозначьте середины сторон АВ, ВС, СА буквами М, N, К соответственно.
  • Что можно сказать о взаимном расположении медиан треугольника?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Выделите цветом отрезки АN, BK и СМ. Измерьте отрезки ОM и ОС, ОN и ОА, ОK и ОВ.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для XI группы:

  • Постройте прямоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте все медианы треугольника (стиль линии задать «пунктир»). Обозначьте середины сторон АВ, ВС, СА буквами М, N, К соответственно.
  • Что можно сказать о взаимном расположении медиан треугольника?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Выделите цветом отрезки АN, BK и СМ. Измерьте отрезки ОM и ОС, ОN и ОА, ОK и ОВ.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

Индивидуальное задание для XII группы:

  • Постройте прямоугольный треугольник АВС (для сторон треугольника задать стиль линии «жирная», цвет «синий»).
  • Постройте все медианы треугольника (стиль линии задать «пунктир»). Обозначьте середины сторон АВ, ВС, СА буквами М, N, К соответственно.
  • Что можно сказать о взаимном расположении медиан треугольника?
  • Обозначьте точку пересечения буквой О. Где лежит буква О в твоём треугольнике?
  • Выделите цветом отрезки АN, BK и СМ. Измерьте отрезки ОM и ОС, ОN и ОА, ОK и ОВ.
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.

II этап работы. Анализ результатов I этапа.

  • Организуйте новые группы: (I+II+III), (IV+V+VI), (VII+VIII+IX), (X+XI+XII). В новых группах проанализируйте результаты своей работы. Поэкспериментируйте с «Живой геометрией».
  • Что вы замечаете?
  • Сформулируйте гипотезу.
  • Подготовьте презентацию (представление) своих наблюдений, результатов, выводов.

III этап работы. Презентация полученных результатов.

IV этап работы. Подведение итогов.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности.

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

Высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.

Медианы треугольника пересекаются в центре тяжести и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Дополнительное задание:

  • Постройте в одном треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности. Обозначьте центр тяжести буквой M, ортоцентр – буквой H, а центр описанной окружности – буквой O. Проанализируйте с помощью «Живой геометрии» взаимное расположение указанных точек и соотношение длин отрезков получившихся отрезков. Что можно заметить?
  • Сформулируйте гипотезу.

Вывод: центр тяжести M, ортоцентр H и центр описанной окружности O лежат на одной прямой, причём точка M также делит отрезок OH в отношении 1:2