Стохастическая линия в преподавании математики

Материалы и оборудование:

1) Презентация к уроку, выполненная в Power Point.

2) Игральные кубики (кости) синих и красных цветов.

3) Карточки с таблицей 1.

4) Таблица сводной ведомости (на доске).

5) Таблицы суммы очков двух кубиков и их результаты (на доске).

Цель: Сформировать представление о достоверных, невозможных, случайных событиях, показать возможность оценивания вероятности случайного события по его частоте экспериментальным путём, познакомиться с вычислениями вероятности случайного события с помощью классической формулы вероятности.

ХОД УРОКА

1) Новая тема. Мотивация. Учитель (беседа). В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, социологические опросы и таблицы занятости, кредиты и страховые полисы, разнообразные банковские начисления и т.п. Общество всё глубже начинает изучать себя и стремится сделать прогнозы погоды о себе и явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.

Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, медицина - весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин. Итак, начнём с примера.

2) Пример: Во многих играх используют игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено различное количество точек - от 1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие: 1) событие А – выпадет цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6; 2) событие В – выпадет цифра 7, 8 или 9; 3) событие С – выпадет цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Вообще, событие, которое в опыте наступить не может, называют невозможным событием.

А как вы думаете, событие С, предсказанное в третьем случае наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может, как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

Закрепление:

Задача (устно). В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 зелёных и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное:

а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие (невозможное)

б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные (случайное)

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета (случайное)

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета (невозможное).

Беседа: Когда мы говорим о наступлении достоверного события, мы слово “вероятно” использовать, скорее всего, не будем. Например, если сегодня вторник, то завтра среда, это – достоверное событие. Вы во вторник не станете говорить: “Вероятно, завтра среда”, вы скажете коротко и ясно: “Завтра среда”. Правда, если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: “Со стопроцентной вероятностью утверждаю, что завтра среда”. Напротив, если сегодня вторник, то наступление назавтра пятницы – невозможное событие. Оценивая это событие во вторник, вы можете сказать так: “Уверен, что завтра не пятница”. Ну а если вы склонны к красивым фразам, то можете сказать так: “Вероятность того, что завтра пятница, равна нулю”. Итак, достоверное событие -- это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т. е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т. д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни так четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова “более вероятно” или “менее вероятно”, опираясь на здравый смысл. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, 100% равно 1, люди договорились о следующем:

1) вероятность достоверного события считается равной 1;

2) вероятность невозможного события считается равной 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется – теория вероятностей. Пока мы знакомимся лишь с азами этой теории.

Итак, перед вами, ребята, стоит проблема.

Кто из двух шахматистов будет играть белыми? Какая из двух команд начнет игру? Как решить эту проблему по справедливости?

Примеры детей

Чтобы решать такие вопросы по справедливости, принято подбрасывать монету, потому что “орел” и “решка” выпадают примерно с равной частотой или как говорится, “с равной вероятностью”. Этот факт подвергали экспериментальной проверке ученые разных стран и эпох.

А сейчас, ребята, мы с вами тоже проведём эксперименты.

Эксперимент. (Класс делится на 5 групп. Каждой группе выдаются по два кубика (кости)). Эксперименты состоят в подбрасывании двух игральных кубиков (синий и красный) с вычислением каждый раз суммы выпавших на кубиках очков.

а) Какая наименьшая и какая наибольшая сумма очков может при этом получиться?

б) Укажите все возможные исходы случайного эксперимента.

в) Проведите 20 экспериментов и внесите результаты в таблицу (Приложение 1, Таблица 1).

г) Сведите все результаты в общую таблицу. В первой строке этой таблицы укажите все возможные исходы, во второй – сколько всего экспериментов завершилось данным исходом, а в третьей - подсчитанную частоту этого исхода или вероятность случайного события, которое вычисляется по классическому определению вероятности: Р = m/n,

где m – количество благоприятных исходов, n - количество всех исходов.

(Сводная таблица с результатами сделана на ватмане, заполняется ребятами на доске). (Приложение 1, Сводная ведомость).

А теперь предлагаю такую игру:

Класс делится на три группы (пары объединяются). Первая группа выигрывает, если выпадет 4 очка, вторая - если выпадет 8 очков, третья – если выпадет 12 очков. В остальных случаях проводится новый эксперимент, т.е. кубики бросают снова.

Исходя из статистических данных, полученных в результате экспериментов, определите, справедлива ли такая игра. Если нет, то у которой группы наибольшие шансы выиграть.

Итак, мы сделали вывод, что игра несправедливая экспериментальным путём. Давайте же сделаем это с точки зрения теории вероятностей.

Составим таблицу суммы очков двух кубиков и вычислим вероятность того или иного события по формуле:

Результаты:

Закрепление: (Решение задач в импровизированной форме).

Каждой группе дается задача. Нужно её импровизировать (дается на подготовку 2–3 минуты). Остальные ребята решают предложенную проблему.

Задача 1. Ребята провели опыты по подбрасыванию монеты. Из 100 раз “орёл” выпал 46 раз, а “решка” - 54 раза. Ребята поспорили, что вероятней появится в следующем эксперименте: “орёл” или “решка”?

1 ученик: “Вероятность появления “орла”. Ведь до этого эксперимента он выпадал реже, чем “решка”, значит, теперь должен выпадать чаще”.

2 ученик: “Вероятней появление “решки”. Ведь до этого эксперимента она выпадала чаще, значит, и теперь будет выпадать чаще”.

3 ученик: “Мы знаем, что появление “решки” и “орла” в каждом эксперименте равновероятно и вероятность появления их одинаковая в 101-ом опыте, так же как и в первом, или в любом другом”.

Согласны ли вы с кем-то из участников спора и почему?

Ответ: 101-й эксперимент – новый самостоятельный эксперимент, для которого появление “решки” и “орла” равновероятно.

Задача 2.

Автор: (Имя) уже 3 месяца участвует в еженедельной лотерее, но ни разу не выиграл. Однако он продолжает играть, утверждая:

Мальчик: “Лотерея – случайная игра, иногда выигрываешь, иногда проигрываешь. Я уже долго не выигрывал, поэтому уверен, что выиграю в одном из следующих розыгрышей”.

Согласны ли вы с его рассуждением? Почему?

Ответ: Если в следующий раз организаторы лотереи выпустят количество билетов с таким же соотношением, что и предыдущие разы, то вероятность выигрыша p = m/n останется такой же.

Задача 3. (Имя) купил булочку с изюмом, но изюма в булочке не оказалось. Стоит ли (имя) подавать в суд на хлебопекарный завод?

Ответ: Стоит. В булочке должна быть хоть одна изюминка с вероятностью равной 1 (гарантирована). Если её не оказалось – нарушены права потребителя (имя) и никакая теория вероятностей хлебопекарному заводу не поможет. Им надо было называть продукт “булочка возможно с изюмом”, и тогда суд оправдает хлебопёков.

Задача 4.

Больной: “Доктор, пойдут ли у меня дела на поправку?”

Доктор: “Несомненно, потому что статистика говорит, что один пациент из ста выздоравливает при этой болезни”.

Больной: “Но почему же при этом именно я должен выздороветь?”

Доктор: “Потому что вы как раз и есть мой сотый больной!”

Верно ли рассуждает доктор и каковы, по вашему мнению, шансы больного?

Ответ: Вероятность выздоровления р =1/100 независимо от “предыстории”. Это похоже на разыгрывание “орла” или “решки”: каждый розыгрыш никак не связан с предыдущим, и вероятность выпадения “орла” всегда 0,5.

Задача 5.

9 класс разыгрывает приз, вытягивая из коробки билетики.

1 ученик: Хочу тянуть билет первым, потому что счастливый билет ещё наверняка в коробке и шансы выиграть приз наибольшие.

2 ученик: Хочу тянуть билет последним, так как после каждого, не вытянувшего счастливый билет его шансы будут увеличиваться.

3 ученик: Мне всё равно, буду я тянуть в начале или в конце, так как у всех шансы одинаковые. Как вы думаете, кто из ребят прав?

Ответ: Пока не вытянут ни один билет – шансы, действительно у всех одинаковые. Р(А1) = 1/а, где а – количество участников (билетов).

После того как первый билет вытащили, вероятность зависит от результатов первого хода. Если приз разыгран, то шансов у остальных нет вообще. Если нет, то вероятность вытянуть счастливый билет у второго участника равна Р(А2) = 1/а-1, что больше, чему первого (а-1 – количество оставшихся билетов). Если и после второго хода приз не разыгран, то шансы третьего ещё больше увеличиваются, Р(А3) = 1/а-2. То есть вероятность с каждым ходом увеличивается. Но и риск большой. Если приз на n-ом шаге будет разыгран, то остальным шансов получить приз не останется вообще.

Итог урока. Вывод: Что нового узнали на уроке? (Познакомились с разделом прикладной математики “Теория вероятностей” и узнали, что она изучает).

Заинтересовались ли вы дальнейшим, более глубоким изучением “Теории вероятностей”? Если да, то я вас приглашаю в “Страну теории вероятностей” и хочу вручить пригласительные билеты.

(Приложение 2)

В этой стране очень много интересных задач, решение которых требует более глубокого его изучения и специальной подготовки.

А в дальнейшей жизни, ребята, я вам посоветую: прежде чем играть в какие-то в азартные игры, узнайте, какова вероятность выигрыша. Как правило, в игорных залах эта вероятность очень мала.

(Приложение 3)