Учитель математики:
Мы проводим занятие совместно с лицеистами, увлечёнными физикой и учителем физики. В апреле многие из Вас будут представлять свои творческие, исследовательские работы на школьной и городской конференциях.
Трое членов нашего Научного общества в этом учебном году стали призерами областной конференции «Наше будущее-наука XXI века», они же участники Всероссийского фестиваля творческих и научно-исследовательских работ «Портфолио». Сейчас Б.П. выступит с проектом своей работы. Ваша задача – проверить этапы исследования в ваших работах и при необходимости внести коррективы.
(Ученик Б.П. выступает с презентацией, отвечает на заданные вопросы. Приложение 1).
Учитель математики:
Видим, как велика роль математики для самых различных запросов практики, для развития других наук. Во все переходы формирования человеческого сознания математика и физика развивались взаимосвязано, стимулируя обоюдный прогресс.
В 17 веке Декарт вместе с другими великими учеными искал общий метод мышления, который позволил быстрее делать изобретения. Единственной наукой о природе, обладавшей в известной мере систематическим строением, была тогда механика, а ключ к пониманию механики давала математика, т.о. математика стала важнейшим средством для физики.
Еще в 1586 г. последователь Архимеда Симон Стевин использует математику для вычисления центров тяжести, Лука Валерио (1604 г.) также написал работу о центре тяжести; и в сочинении Пауля Гульдина «Центробарика» (1641 г.) мы находим так называемую теорему Гульдина о телах вращения, которую в свое время разъяснял математик Папп.
(На экран проецируются портреты ученых.
Учитель физики:
А теперь для постановки темы занятия предлагается мысленный эксперимент.
После эксперимента вы должны ответить на вопрос: «О каком понятии идет речь?»
(Ученик З.К. проводит эксперимент. Приложение 2.)
О каком понятии идет речь? (Идет обсуждение.)
Тема нашего занятия «Центр тяжести». Вы узнаете: определения материальной точки в математике и физике, центра тяжести в математике и физике, центра масс; особенность движения центра масс; способы нахождения координат центра тяжести; способы расчета центра тяжести на практике; место расположения центра тяжести тетраэдра. Вы научитесь: вычислять положение центра масс; находить центр тяжести тетраэдра; экспериментально определять центр тяжести плоской фигуры.
Учитель математики:
Часть презентации исследовательской работы «Нахождение центра тяжести» представит ученица Ш.О.
Ученица Ш.О.:
Я выбрала эту тему, потому что меня заинтересовало, почему гибнут корабли? Одной из причин, вызывающих морские катастрофы – ошибка в математических расчетах центра тяжести. Остановлюсь на нахождении центра тяжести пластинки. (Приложение 3.)
Ученик К.Д. рассказывает о различных способах определения координат центров тяжести тел. (Приложение 4)
Учитель физики:
Известно, что центр тяжести тела в теории физики определяется как точка приложения равнодействующей всех сил тяжести каждой из частей данного тела. Это понятие очень важно при решении задач, связанных с реальными телами, имеющими физическую форму и массу, распределенную по всей этой форме. При расчетах в статике и динамике полагают, что общая масса тела сконцентрирована в одной точке, которую называют центром масс. Если ускорение свободного падения g не изменяется в пределах размера тела, то центр тяжести совпадает с центром масс, но если g изменяется вдоль тела, то распределение силы тяжести может быть неравномерно при равном распределении массы и, следовательно, положение центра тяжести может отличаться от положения центра масс. Когда это возможно? (Идет обсуждение.)
Ответ: это возможно, если тело очень велико.
Заметим, что в механике при решении многих задач формами и размерами тел пренебрегают, что позволяет считать центр тяжести и центр масс этих тел совпадающими.
Ученик Р.С. рассказывает об особенностях движения центра масс. (Приложение 5)
Учитель математики:
Итак, мы рассмотрели нахождение центра тяжести плоских пластин, увидели, как экспериментально найти центр тяжести объемного тела – самолета, а теперь наша задача – найти центр тяжести объемного тела на примере тетраэдра.
(Ученики начинают работать в группах.)
У вас у всех рисунок тетраэдра. Проецируется рисунок:
Работу будете проводить на этом рисунке.
- Посмотрите работу О. Какой первый шаг при нахождении центра тяжести пластины?
- По аналогии с нахождением центра тяжести пластины делим любое ребро тетраэдра на n равных частей точками. Возьмем AЕ (проецируется <Рисунок 5>.)
- Что теперь нужно сделать? (проецируется <Рисунок 6>.)
- Какие получим тела? (Усеченная пирамида, тетраэдр.)
- Что произойдет с телами, если неограниченно увеличивать число точек деления? (Тетраэдр вырождается в точку Е, усеченные пирамиды - в плоские треугольники.)
- Центры тяжести плоских треугольников умеете находить. Ваша гипотеза о месте расположения центра тяжести тетраэдра? (Учащиеся выдвигают предположения.
Одно из предположений: лежит на отрезке, соединяющем точку Е центр тяжести треугольника ABD.)
- А теперь гипотезу нужно доказать или опровергнуть. Что нужно вначале определить, чтобы найти центр тяжести тетраэдра? (Центр тяжести основания.)
- Найдите центр тяжести основания, обозначьте его С1 (проецируется <Рисунок 7>.)
- Сколько достаточно построить медиан треугольника для нахождения центра тяжести основания? Почему?
- На какой прямой будет лежать центр тяжести тетраэдра? (Проецируется <Рисунок 8>.)
- Центр тяжести тетраэдра изображается точкой. Выяснили принадлежность центра тяжести прямой ЕС1. Как построить эту точку?
(Центр тяжести - изображается точкой, а для построения точки достаточно двух прямых, следовательно, нужно провести ещё прямую.)
- Как построить эту прямую? (Проецируется <Рисунок 9>.)
(На грани AED находим центр тяжести и соединяем точки C2 с B, получим С)
- EC1 ∩ C2B=C
- На каком расстоянии длины этого отрезка, считая от основания лежит точка С?
- Почему? (Измерили.)
- Но это нужно доказать!
- Для доказательства проведите С1С2 (проецируется <Рисунок 10>.)
- Какими будут С1С2 и BЕ? ( Параллельными.)
- Почему? (Так как точка С1 и С2 делят стороны угла ЕКВ на пропорциональные части.)
- Найдите зависимость СС1 от EC1.
(Учащиеся из подобия треугольников С2СС1 и ВСЕ находят, что С1С = СЕ/3 = С1Е/4)
Итак, гипотеза: центр тяжести тетраэдра лежит на отрезке, соединяющем вершину с центром тяжести основания и находится на одной четверти длины этого отрезка, считая от основания – доказана.
Этот результат будет также справедлив и для любой пирамиды, а в пределе и для конуса.
Следующий этап занятия – самостоятельная работа.
(Учитель физики раздаёт листы с текстом самостоятельной работы на 15 минут.)
Самостоятельная работа «Центр тяжести»
- Найти абсциссу центра масс, равных 3; 1; 2; 4 условных единиц и помещённых соответственно в точки А1(3); А2(-1); А3(2); А4(-8).
- Длина отрезка, соединяющего вершину тетраэдра с центром тяжести основания, равна 6 см. На каком расстоянии длины этого отрезка находится центр тяжести тетраэдра, считая от основания?
а) 2 см ; б) 1,5 см; в)1,2 см.
- Найти центр масс фигуры, изображённой на рисунке:
Учитель математики проводит самопроверку учащихся используя ответы заданий через компьютер и проектор (Ответы: 1. -2; 2.б; 3.Хц.т.=3,05, Yц.т.=1,85)
Учитель физики:
Следующее задание: экспериментально определить ЦТ плоской фигуры без вспомогательных приборов.
(Учитель математики раздаёт модели, учитель физики объясняет, что нужно сделать, проверяет верность, делает вывод.)
Учитель математики: Занятие подошло к концу. Дома: отредактируйте свои творческие работы; подготовьте презентации к участию в школьной и городской конференциях.
Учитель физики обобщает занятие, благодарит всех за работу.
Оборудование: компьютер, проектор, плоские пластины неправильной формы, изображение тетраэдра.