Класс: 10.
Предмет: стереометрия.
Учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. «Геометрия, 10-11».
Тема урока: «Правильная пирамида».
Цели урока:
- Образовательные
- введение понятия правильной пирамиды;
- рассмотрение свойств правильной пирамиды;
- введение понятия апофема;
- рассмотрение задач на нахождение элементов правильной пирамиды.
- Развивающие
- развитие графической культуры;
- развитие пространственного мышления;
- расширение математической терминологии.
- Воспитательные
- формирование интереса к предмету.
План урока:
1. Организационный момент
2. Подготовка к изучению новой темы
1.1. Актуализация знаний по теме: «Пирамида». Проверка усвоения теоретического материала.
Вопросы к учащимся:
- Сформулируйте определение пирамиды. Покажите на модели (чертеже) ее элементы.
- Сформулируйте определение высоты пирамиды.
- Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
- Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
- Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
- Что называется площадью боковой поверхности пирамиды, площадью полной поверхности пирамиды?
1.2. Проверка домашнего задания.
На предыдущем уроке учащиеся получили домашнее задание по вариантам:
Вариант I |
Вариант II |
№ 243, 247 а |
№ 243, 249 а |
Проводится визуальная проверка наличия
выполненного домашнего задания.
Проводится обсуждение решения задач № 247а и №
249а. Учащиеся комментируют решение с
использованием готовых чертежей.
№ 247а
Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основания.
Вопросы к учащимся:
- Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
- Сформулируйте определение двугранного угла.
- Как построить линейный угол двугранного угла?
- Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
№ 249а
В пирамиде все боковые ребра равны между собой.
Докажите, что высота пирамиды проходит через
центр окружности, описанной около основания.
Вопросы к учащимся:
- Какая окружность называется описанной около многоугольника?
- Как построить угол между боковым ребром и плоскостью пирамиды?
1.3. Актуализация знаний по планиметрии.
Определение правильного многоугольника:
Правильный многоугольнике – выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Определение центра правильного многоугольника:
В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Это точка – центр правильного многоугольника.
Формулы для вычисления элементов правильного многоугольника:
|
|
 |
3. Объявление темы и целей урока
Тема урока: «Правильная пирамида».
Цели урока:
- познакомиться с понятием правильной пирамиды, ее элементами и свойствами;
- научиться строить правильную пирамиду и ее элементы;
- рассмотреть задачи на нахождение элементов правильной пирамиды.
4. Изучение теоретического материала
4.1. Определение правильной пирамиды. Изображение правильных пирамид на чертежах.
Пирамида называется правильной, если
1) ее основание – правильный многоугольник;
2) ее высота – отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с ее центром.
Одним из примеров правильной пирамиды являются египетские пирамиды. Это четырехугольные пирамиды.
Внимание учащихся обращается также на изображение правильных треугольной и шестиугольной пирамид.
Задание для учащихся:
- Выполнить в тетради чертеж правильной шестиугольной пирамиды.
4.2. Свойства правильной пирамиды.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Доказательство данных фактов проводится устно:
Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности. Эти прямоугольные треугольники равны. Следовательно, равны их гипотенузы.
Так как боковые ребра правильной пирамиды равны, то ее боковые грани - равнобедренные треугольники.
Так как А1А2…Аn – правильный многоугольник, то основания этих треугольников также равны друг другу. Значит, боковые грани равны (по трем сторонам).
4.3. Апофема.
Апофема – высота боковой грани правильной
пирамиды, проведенная из ее вершины.
Данный термин употребляется для правильной
пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также
могут быть равны высоты боковых граней.
Вопросы к учащимся:
- Сколько апофем в правильной пирамиде?
- Равны ли апофемы правильной пирамиды друг другу? Почему?
- Сколько высот в пирамиде?
Задание для учащихся:
- Провести апофему правильной шестиугольной пирамиды.
5. Закрепление нового материала
- Решение задачи на построение.
В правильной четырехугольной пирамиде построить:
а) угол между боковым ребром и плоскостью
основания;
б) линейный угол двугранного угла при основании;
в) линейный угол двугранного угла между боковыми
гранями.
Комментируется ход построения (с применением готового чертежа). Учащиеся выполняют построения в тетради.
- Решение задачи на нахождение элементов правильной пирамиды.
№ 255
В правильной треугольной пирамиде сторона
основания равна 8 см, а плоский угол при вершине
основания 
.
Найдите высоту этой пирамиды.
Решение проводится учеником у доски.
6. Подведение итогов урока
Вопросы к учащимся:
- Какая пирамида называется правильной?
- Являются ли равными боковые ребра правильной пирамиды?
- Чем являются боковые грани правильной пирамиды?
- Что называется апофемой?
- Сколько высот в пирамиде? Сколько апофем в пирамиде?
Выставление оценок за работу на уроке.
7. Домашнее задание
§ 2 п.29 № 256 (а, в, г)
Список литературы:
- Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 6-е изд. – М.: Просвещение; ОАО «Московские учебники, 2006.
- Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя/С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2001.