Тема: «Решение тригонометрических уравнений»
Цель: систематизация знаний по изучаемой теме, отработка навыков решения уравнений, контроль знаний учащихся.
ХОД УРОКА
I. Оргмомент
II. Устные упражнения
- Решение уравнений:
; 
; 
- Имеет ли смысл выражение:
; 
; 
; 
- Вычислить:
III. Проверка домашнего задания с объяснением решения учащимися
Домашнее задание: несколько учеников записывают на доске во время перемены.
1. 
2. 
=
3. 
нет решений
4. 
5. 
6. 
Домашнее задание проверяется по готовым ответам, и выставляются оценки:
«3» – 4 правильно решенных уравнения
«4» – 5 правильно решенных уравнения
«5» – 6 правильно решенных уравнения
IV. Математический диктант
Условие записано на доске
Решите уравнения.
| I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. |
II. 1. 2. 3. 4. 5. 6. |
Ответы записаны на обратной стороне доски.
Сразу проверяем и выставляем оценки.
V. Систематизация знаний по теме
а) Историческая справка о возникновении тригонометрии (в виде сообщения одного из учеников)
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon – треугольник, а metrew – измеряю).
Возникновение тригонометрии связано с
землемерением, астрономией и строительным делом.
Значительный вклад в развитие тригонометрии
внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и
Абу-ль-Вафа, Мухаммед-бен Мухаммед (940-998), который
составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с
точностью до 1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый
Бхаскара и азербайджанский астроном и математик
Насиреддин Туси Мухаммед (1201-1274).
Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе
«Трактат о полном черырехстороннике» изложил
плоскую и сферическую тригонометрию как
самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус.
Фактически различные отношения отрезког
треугольника и окружности (а, по существу, и
тригонометрические функции) встречаются уже в III
веке до н.э. в работах великих математиков
Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония
Пергского.
В римский период эти отношения достаточно
систематично исследовались Менелаем (I век н.э.),
хотя и не приобрели специального названия.
Современный синус, например, изучался как
полухорда, на которую опирается центральный угол
величиной а, или как хорда удвоенной дуги.
В IV-V веках появился уже специальный термин в
трудах по астрономии великого индийского
ученого Ариабхаты. Отрезок он назвал ардхаджива.
Позднее появилось более краткое название джива.
Арабскими математиками в IX веке это слово было
заменено на арабское слово джайб
(выпуклость).
При переводе арабских математических текстов в
веке оно было заменено латинским синус (sinus
– изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т.е. «дополнительный синус».
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов.
Эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы: благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной в Европе. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1607) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в работу математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.
Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказывать путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее и проще.
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
б) Классифицируем тригонометрические уравнения:
Рассматриваем типы тригонометрических уравнений и из набора уравнений выбираем уравнения каждого типа.
1. Простейшие тригонометрические уравнения.
2. Решения уравнений с помощью замены переменной.
3. Решение уравнений разложением на множители.
4. Решение однородных уравнений I степени.
5. Решения однородных уравнений II степени.
1. 
9.
2. 
10.
3. 
11.
4. 
12.
5. 
13.
6. 
14.
7. 
15. 
8. 
в) Выполняем решение примеров уравнений по группам:
- I группа 8, 9, 5, 3, 1;
- II группа 10, 13, 2, 7, 11;
- III группа 12, 4, 6, 14, 15.
Решившие первыми учащиеся получают оценки и помогают остальным учащимся.
VI. Тест
I уровень
1. Какое из данных уравнений не имеет корней:
1)
2)
3)
4)
Ответы:
1) 1 и 2
2) 1 и 4
3) 2 и 4
4) другой ответ
2. Какое из данных выражений не имеет смысла:
1)
2)
3)
4)
Ответы:
1) 1
2) 1 и 3
3) 4
4) 3
3. Вычислить: 
Ответы:
1)
2) 0
3)
4)
4. Решить уравнение: 
Ответы:
1)
2)
3)
4)
5. Решить уравнение:
Ответы:
1)
2)
3)
4)
6. Решить уравнение: 
Ответы:
1)
2)
3)
4)
II уровень
1. Какое из данных уравнений не имеет корней:
1)
2)
3)
4)
Ответы:
1) 1 и 2
2) 1 и 4
3) 1, 2 и 4
4) другой ответ
2. Какое из данных выражений не имеет смысла:
1)
2)
3)
4)
Ответы:
1) 1 и 2
2) 3
3) 4
4) 3 и 4
3. Вычислить: 
Ответы:
1) 10
2) 10,8
3) 0,8
4) 10,6
4. Решить уравнение: 
Ответы:
1)
2)
3)
4)
5. Решить уравнение:
Ответы:
1)
2)
3)
4)
6. Решить уравнение: 
Ответы:
1)
2)
3)
4) нет решений
VII. Домашнее задание: придумать по одному уравнению каждого типа и решить их.
VIII. Подведение итогов урока