Показательные уравнения

Тема: Показательные уравнения (Приложение 1, слайд 1).

Цель:

1. Познакомить студентов с определением показательного уравнения и основными методами решения показательных уравнений.

2. Сформировать умения и навыки решения несложных показательных уравнений. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки взаимоконтроля.

3. Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности студентов. (Приложение 1, слайд 2)

Студент должен знать: способы решения простейших показательных уравнений.

Студент должен уметь: решать несложные уравнения, приводимые к видам: а^F(x)=a^G(x), а^F(x)=b.

Оборудование: плакат с устными упражнениями, раздаточный материал, учебник, жетоны, ПК.

Литература: Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, I ч., Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент.

Приветствие;
Перекличка;

II. Проверка д/з.

У доски на изученную тему, но несколько сложнее домашней, выполнить задание по карточке. (К₁)
На местах выполнить на отдельном листочке задания подобные д/р – 4 человека. (К₂, К₃, К₄, К₅)
Фронтально с группой (за правильный ответ студент получает жетон). (Приложение 1, слайды 3-16)

Какая функция называется показательной?

Какие из функций являются показательными?

у = 2^х

у =0,2^х

у = (х-2)²

у = х²

у = (П)^х

у = 3^-х

у = (-3)^х

у = 0,5^х

Какие характеристики функции вы знаете?

Что такое область определения функции?

Какова область определения показательной функции?

А какова область определения для функции у = (0,3)^х?

Что называется областью изменения функции?

Какова область изменения показательной функции?

А какова область изменения для функции у = (0,3)^х?

Какими свойствами может обладать показательная функция? Как эти свойства иллюстрируются графиком? (По таблице)

Какие функции называются монотонными?

Дайте определение возрастающей функции?

Дайте определение убывающей функции?

При каком условии показательная функция является возрастающей?

При каком условии показательная функция является убывающей?

Какие из показательных функций являются возрастающими и какие убывающими? (Приложение 1, слайд 17)

у = 5^х

у = (0,5)^х

у = (0,2)^х

у = (2/3)^х

у = 7^-х

у = (П)^х

у = (1/3)^х

Сравнить: (Приложение 1, слайд 18)

Вычисляя значения показательной функции, мы постоянно обращаемся к таблице степеней и свойствам степеней. (Приложение 1, слайд 19)

Используя свойство степеней, упростить выражения:

Разложить на множители: (Приложение 1, слайд 20)

Как эту степень представить в виде квадрата, какой-то другой степени? (Приложение 1, слайд 21)

25^х, 16^х, 81^х, 49^х, 4^х, 36^х.

Давайте послушаем и проверим, как на доске выполнено задание по карточке.

Зачитайте задание.

Графики, каких функций вы строили?

Как называется метод, которым вы решали данное уравнение?

Остальные карточки я проверю, и итог подведу в конце урока.

Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. На прошлом занятии несколько ребят получили задание подготовить сообщения о применении показательной функции в природе и технике. Этого материала в учебнике нет. Вы должны расширять свой кругозор и в этом помогут их небольшие сообщения. Послушаем их.

Применение в природе и технике.

Нобелевские лауреаты. (Приложение 1, слайд 29)

Итак, показательная функция является основой изучения многих наук, в частности, вы будете изучать явления с помощью показательной функции на уроках физики, электротехники, на уроках механических дисциплин, материаловедении, экономике. Поэтому материал этот очень значимый. И сегодня на уроке мы будем опираться на ваши знания по показательной функции.

III. Мотивация учебной деятельности.

Какие задачи, связанные с понятием показательной функции у = а^х, мы можем решать?

Строить график.
Читать график.
Определять принадлежность тоски графику функции.
Находить область определения и область изменения функции.

А можно ли с помощью графика функции у = 2^х найти значение аргумента, при котором значение функции равно 64 или 32?

С помощью графика это сделать практически невозможно.

Значит, нам нужно найти новый метод решения задач такого типа.

Как называется такой метод?

Аналитический, алгебраический.

Как будет выглядеть запись поставленной задачи?

2^х = 64, 2^х = 32.

Что за выражение мы получили?

Уравнения, в которых переменная стоит в показателе степени.

Таким образом, тема нашего занятия “Показательные уравнения”, а цель: (Приложение 1, слайд 2)

Из всего многообразия уравнений уметь выделять показательные уравнения.
Познакомиться с методами решения показательных уравнений.
Научиться решать простейшие показательные уравнения.

IV. Изучение нового материала.

1. Определение. (Приложение 1, слайд 22)

Уравнения, содержащие переменную только в показателе степени, называются показательными.

2. Являются уравнения из домашней работы показательными? Откройте тетради и посмотрите. Объясните.

3. Рассмотрим методы решения показательных уравнений:

1) Метод уравнивания оснований: (Приложение 1, слайд 23)

кто сможет решить эти уравнения?

а) 2^х = 64, в) 3^х-2 = , б) 2^х = 32,

, , е) 4^2х-5 = -, ж) 5^х = 1

2) Метод вынесения общего множителя за скобки: (Приложение 1, слайд 24)

3) Метод логарифмирования: (Приложение 1, слайд 25)

Какую операцию будем применять к уравнениям в данном методе.

4) Метод замены переменной: (Приложение 1, слайд 26)

V. Закрепление изученного материала.

Трудная задача – научиться решать показательные уравнения будет упрощена, если уметь классифицировать уравнения по методам их решения.

1) Давайте, вместе определим метод решения данных показательных уравнений:

2^х+1 = 32,

7^х + 7^х+2 = 350,

25^х +5^х+1 -6 = 0,

9^х+4 = 2.

2) Предлагаю самостоятельно выполнить следующее задание.

Сгруппировать уравнения по методам решения. Таблица

Результаты занесите в таблицу: (Приложение 1, слайд 26)

Логарифмирования	Замена переменного (приведение к квадратному)	Уравнивание основание оснований	Вынесение общего множителя за скобки

А теперь поменяйтесь вариантами и проверьте соседа, как он выполнил задание.

И так, подведем итог. Что получилось в вашей таблице?

Смотрим на экран: “50 лет, юбилей, 1956”. (Приложение 1, слайд 29)

Наш техникум образован в 1956 году и осенью 2006 года отметил свой юбилей – 50 лет.

3) Работаем по учебнику Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике: стр.64, № 27 (2), 29 (3), 30 (1) решаем у доски.

4) Выполните самостоятельную работу по решению посмотреть, показательных уравнений.

Задания дифференцированные, по уровню сложности. Уровень сложности вы для себя выберете сами.

Самостоятельная работа

Собираю жетоны, оцениваю работы по карточкам, выставляю оценки.

Собираю работы за 5 мин до звонка.

VI. Домашнее задание: по учебнику Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, I ч, §23, п. 1, № 5.29, № 5,30, стр.225.

(Приложение 1, слайд 30)

Выберите каждый по 4 уравнения – степень сложности определите сами. А я буду оценивать д/р с учетом ваших возможностей.

Итог занятия.

VII. Озвучиваю и выставляю оценки.

Сегодня мы с вами познакомились с новым видом уравнений – показательными уравнениями, познакомились с методами их решения и научились решать простейшие уравнения. Мы говорили, что понятие показательной функции было введено в XVII веке. Так вот сейчас ваши знания в этой области находятся на уровне знаний ученых того времени. Сейчас на дворе XXI век. Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте, достигайте уровня ученых наших дней. Информация к размышлению: в этом году Россия не получила ни одной Нобелевской премии.

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

15.08.2009