Цели и задачи урока:
- Обучающая – сформировать представление о том, как по таблице истинности перейти к формуле, чтобы на ее основе построить функциональную схему.
- Развивающая – развивать умение выделять главное; развивать умение учащихся оперировать понятиями и символикой математической логики; развивать логическое мышление учащихся.
- Воспитательная – продолжить формирование логического мышления; способствовать развитию познавательного интереса к предмету.
Оборудование: Презентация, слайды, которые демонстрируются на экран с помощью проектора (Приложение 1).
План урока для учителя
Содержание этапов урока |
Виды и формы работы |
I. Организационный момент. | Приветствие. |
II. Мотивационное начало урока. | Постановка проблемы. |
III. Объяснение нового материала. | Использование подготовленной презентации. Решение проблемы |
IV. Этап общения, систематизации знаний и закрепление изученного. | Решение задач по карточкам. |
V. Подведение итогов, домашнее задание. | Выставление оценок. Домашнее задание. |
ХОД УРОКА
I. Организационный момент. Приветствие учащихся
II. Мотивационное начало урока
Вспомним что такое логическая функция.
Логической функцией n переменных y = f(x1, x2, …, xn)
называется такая функция, у которой все
переменные и сама функция могут принимать только
два значения: 0 и 1.
Мы будем представлять логические функции одновременно в нескольких равноценных формах:
- логическая формула: алгебраическая (аналитическая) форма;
- таблица истинности: таблица состояний функции, в которой непосредственно указываются её значения для всех возможных комбинаций значений логических переменных;
- логическая схема: состоит из "логических элементов", условно изображающих те или иные логические функции.
Задание: построить по формуле функциональную схему и таблицу истинности. Дана формула :
Функциональная схема: |
|
|||||||||||||||||||||||||
Таблица истинности: |
|
На практике при конструировании различных электронных устройств есть только таблица истинности. Возникает проблема – как от таблицы истинности перейти к логическому выражению – формуле, а на ее основе построить функциональную схему. Эту проблему мы сегодня и попробуем разрешить.
III. Объяснение нового материала
Мы знаем, что конъюнкция – это логическое умножение, а дизъюнкция – логическое сложение. Знаем, что переменные структурной формулы соответствуют входам функциональной схемы. Значения переменных в таблице истинности соответствуют значениям входов функциональной схемы.
Нам необходимо несколько дополнить понятия конъюнкции и дизъюнкции и ввести понятия ДНФ и КНФ.
- Простой конъюнкцией (элементарной) называется конъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная встречается не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание). Например, . (Слайд 2).
- Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций. Например, . (Слайд 3).
- Простой дизъюнкцией (элементарной) называется дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание). Например, . (Слайд 4).
- Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций. Например, . (Слайд 5).
Мы знаем, как составлять таблицу истинности для логической функции. Попробуем решить обратную задачу. Так мы решим возникшую проблему – как от таблицы истинности перейти к логическому выражению – формуле, а на ее основе построить функциональную схему.
Пусть дана таблица истинности для некоторой логической функции F(X,Y):
X | Y | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Здесь нам помогут СКНФ и СДНФ. Что это такое? (Учитель сообщает тему урока).
“Совершенная дизъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма”.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том же порядке. (Слайд 8).
Перечислим свойства совершенства для СДНФ:
1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит
все переменные, входящие в функцию.
2. Все логические слагаемые различны.
3. Ни одно слагаемое не содержит одновременно
переменную и ее отрицание.
4. Ни одно слагаемое не содержит одну и ту же
переменную дважды.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая конъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том же порядке. (Слайд 9).
Перечислим свойства совершенства для СКНФ:
- Каждый логический множитель формулы содержит все переменные, входящие в функцию.
- Все логические множители различны.
- Ни один множитель не содержит одновременно переменную и ее отрицание.
- Ни один множитель не содержит одну и ту же переменную дважды.
Решение задачи. (Слайды 11, 12)
Алгоритм получения СДНФ по таблице истинности:
1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 1:
2. Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение в данной строке равно 1, то в конъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 0, то ее отрицание: для 1-й строки , для 3-й строки , для 4-й строки .
3. Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию:
4. Упрощаем формулу, применяем законы логики.
Алгоритм получения СКНФ по таблице истинности
1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 0:
2. Выписать для каждой отмеченной строки дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение в данной строке равно 0, то в дизъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 1, то ее отрицание: для 2-й строки .
3. Все полученные дизъюнкции связать в конъюнкцию:
4. Упрощаем формулу, применяем законы логики (если это необходимо).
Покажем, что полученные по двум алгоритмам СДНФ и СКНФ эквивалентны. СДНФ и СКНФ
Можем проверить, построив таблицу истинности по найденной формуле.
X |
Y |
||
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
Теперь построим логическую схему:
IV. Этап общения, систематизации знаний и закрепление изученного
Проблема решена, теперь мы знаем, как от таблицы
истинности перейти к формуле, а на ее основе
построить функциональную схему.
Решение задач по карточкам (задания
разноуровневые). (Приложение 2).
Примечание: Для нахождения формулы по таблице истинности рекомендуется использовать тот из двух алгоритмов, в котором в таблице помечается меньше строк.
V. Подведение итогов, домашнее задание