Среди материалов для подготовки к единому
государственному экзамену появились задания,
которые вызывали лёгкое недоумение. Это
задания примерно такого типа:
найдите значение выражения 3
sin(arcctg
).
Считаем, что это неудивительно, так как в
традиционной школьной программе изучение
обратных тригонометрических функций очень
ограничено и нацелено только на те знания,
которые необходимы для решения
тригонометрических уравнений и неравенств.
Всё это и заставило нас обратиться к
дополнительной литературе. Мы обнаружили, что
существуют различные подходы к решению
подобных заданий. Нам они показались предельно
чёткими и удивительно красивыми.
Способ первый
Решение.
Пусть arcctg = 
, тогда ctg = ,
0 < < 
.
Требуется вычислить 3sin .
Известно, что 1 + ctg2 =
,
отсюда 
.
На интервале (0; )
sin
> 0, поэтому sin = 
, т. е. 
.
В итоге, 3sin (arcctg ) =
3
= 6.
Все значения обратных тригонометрических функций от положительных чисел – это острые углы, поэтому можно воспользоваться прямоугольным треугольником и теоремой Пифагора. Применим это к нашему заданию.
Способ второй
Решение.
Построим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2 (рис. 1).
Тогда arcctg –
это угол треугольника, в котором
прилежащий катет
относится к
противолежащему как 1 : 2. По теореме Пифагора
вычисляем гипотенузу. Она равна . Теперь находим значение синуса
этого арккотангенса как отношение
противолежащего катета к гипотенузе:
. Итак,
3sin(arcctg) = 3 =
6 .
Рис.1
И вообще,
если обозначить arcctg х = ,
тогда ctg = х. В
прямоугольном треугольнике (рис.2) можно
принять катет, прилежащий к углу , равным х, а противолежащий – равным 1. По
теореме Пифагора найдём гипотенузу. Она равна
. По определению
синуса острого угла прямоугольного
треугольника получим: 
; т. е.
Рис. 2
= 
.
Применим эту формулу к нашему выражению:
3sin(arcctg) = 3·
=3 = 6.
Аналогично можно получить значения любых
тригонометрических функций от
арккотангенса: cos(arcctg x ) = 
; tg(arcctg x ) = 
; ctg(arcctgx) = x.
Используя данный подход и рис. 3 можно
вывести и такие формулы:
= 
=
=
Рис.3
.
Используя
рис.4 получим следующие формулы:
= ,
Рис. 
= ,
.
В этом ключе логичным и оригинальным представляется решение следующего уравнения: arcsin(x – 1) = arccos x (1)
Решение:
По определению арксинуса 
, а по
определению арккосинуса 0 < arccos x <
. Значит, равные значения
обе части уравнения (1) могут принимать на отрезке
[0; 
].
Возьмём синусы от обеих частей этого
уравнения: sin (arcsin(x – 1)) = sin(arccos x). Используя
соответствующие формулы, перейдём к
уравнению х – 1=
(2)
Решим его:
х2 – 2х + 1 = 1 – х2
2х2 – 2х = 0
х1 = 0, х2 = 1
Значение х1 = 0 не удовлетворяет иррациональному уравнению (2), а значение х2 = 1 удовлетворяет и уравнению (2), и уравнению (1). Таким образом, х = 1 – корень исходного уравнения (1).
Ответ: 1.
Мы рассмотрели только два задания, которые содержат обратные тригонометрические функции. Они, конечно, не отражают всего богатства материала по данной теме. Но мы надеемся, что знакомство с ними поможет рассеять то недоумение, которое они вызывают при первом взгляде.
Список литературы:
1. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена
– М.: Айрис-пресс, 2007.
2. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и
начала анализа , 10 класс, В 2 ч. Ч1: учебник для
общеобразовательных учреждений (профильный
уровень) – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.
3. Титаренко А.М., Роганин А.Н. Математика:
500 тестов и задач: для выпускников и абитуриентов – М.: Эксмо, 2007.