Цель: показать, что весь мир симметричен, что симметрия является общепризнанным критерием красоты, как в науке, так и в искусстве.
План:
- Господство симметрии в живой и не живой природе. Формы, виды симметрии.
- Инвариантность, однородность и изотропность симметрии.
- Эстетическая ценность симметрии.
а) симметрия в живописи.
б) симметрия в архитектуре. - Решение задач методом симметрии.
- Творческие работы учащихся по симметрии.
«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Г. Вейль.
«Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано? Разве во всем в жизни симметрия?» (Л.Н. Толстой, «Отрочество»)
Вместе с Николенькой Иртеньевым из трилогии Льва Толстого задумаемся и мы над тем, почему в природе царит симметрия. Почему симметрично все живое от микроорганизмов до человека. Почему симметричное часто ассоциируется с прекрасным.
На первые два вопроса ответ существует: господство симметрии в природе, прежде всего объясняется силой тяготения, действующей во Вселенной.
Действием тяготения или отсутствием такого объясняется то, что и космические тела, плывущие Во Вселенной, микроорганизмы, взвешенные в воде, обладают высшей формой симметрии – сферической (при любом повороте относительно центра фигура совпадает сама с собой).
Все организмы, растущие в прикрепленном состоянии (деревья) или живущие на дне океана (морские звезды), т.е. организмы, для которых направление силы тяжести является решающим, имеют ось симметрии(множество всевозможных поворотов вокруг центра сужается до множества всех поворотов вокруг вертикальной оси.
Наконец, для животных, способных передвигаться в воде, воздухе или по земле, кроме направления илы тяжести, важным оказывается и направление движения животного. Такие животные могут обладать только плоскостью симметрии, которая определяется векторами силы тяжести и направления движения.
Биологи эту плоскость симметрии называют билатеральной, а тип симметрии - зеркальным.
Ясно, что в случае асимметричного развития животного поворот в одну из сторон был бы для него затруднен и естественным для животного стало бы не прямолинейное, а круговое движение. Хождение по кругу рано или поздно закончится трагически для животного
Опыты с зеркалами: калейдоскоп.
Помните ли вы волшебные картинки в калейдоскопе, которые менялись от малейшего поворота? Они получены путём отражения в нескольких зеркалах мелких кусочков разноцветного стекла. Калейдоскоп позволит нам прикоснуться к удивительному математическому явлению – СИММЕТРИИ.
1. Сделаем свой калейдоскоп из двух плоских зеркал, поставленных на плоскость под углом 120° друг к другу.
На плоскости между зеркалами поставим какой-нибудь предмет, в нашем случае это небольшой красный шарик. Мы видим, что он отражается в зеркалах 2 раза.
2. Уменьшим угол между зеркалами до 90°. Теперь шарик отражается 4 раза.
3. Уменьшим до 45° и наблюдаем, что отражений уже 8.
4. Теперь изменим угол между зеркалами до 30°. На этот раз отражений 18.
Во всех четырёх случаях мы наблюдаем явление симметрии. В любом случае в обоих зеркалах шарик отражается симметрично одинаковое количество раз.
Морская звезда — пример живого организма с поворотной симметрией 5-го порядка. Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе (цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони и т. д.) и принципиально невозможен в кристаллических решетках неживой природы. Симметрию 5-го порядка называют симметрией жизни. Это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности.
Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим с собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120° ,для колокольчика 72°, для нарцисса 60°.
Билатеральной симметрией обладает, например, автомобиль, одинаково хорошо поворачивающий и в право и влево, чего нельзя сказать о мотоцикле с коляской, который такой симметрией не обладает и постепенно вытесняется автомобилем и своим двухколесным (зеркально - симметричным) собратом.
Примеры симметрии в технике
Симметрия господствует на Земле благодаря силе тяготения. Более того, поскольку эта сила действует повсюду во Вселенной, то и предполагаемые космические пришельцы не могут быть безудержно чудовищными, как их порой изображают, а обязательно должны быть симметричными.
Таким образом, мы подошли к самому трудному вопросу: «почему симметрия приятна для глаз?» В чем тайна прекрасного, которая делает красоту предметом поклонения
Струи наклонно бьющих фонтанов привлекают правильностью и красотой своих линий. Хотя отнюдь не каждый знает, что это параболы, и тем белее не в состоянии написать их уравнения. Красота часто понятна интуитивно, без предварительной подготовки
«Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».
Это слова нашего соотечественника, академика Шубникова А.В. (1887-1970) посвятившего изучению симметрии всю свою долгую жизнь.
Инвариантность, однородность и изотропность симметрии.
Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слова «симметрия», стечением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т.е. неизменности) относительно некоторых преобразований.
Таким образом, геометрический объект или физическое явление считается симметричным, если с ним можно сделать что-то такое, после чего они остаются неизменными.
Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72°, займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звучит в любом углу комнаты, так как звук передается с помощью звуковых волн, обладающих симметрией.
Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической симметрии – поворотной, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию – однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства.
Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества,магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии
Атомы твердых тел расположены очень плотно и симметрично.
Структурная формула бензола С6Н6 привлекает своей красотой, в основе формулы лежит правильный шестиугольник, обладающий многими видами симметрии.
«Принцип симметрии в XX веке охватывает все новые области. Из области кристаллографии, физики твердого тела он вошел в область химии, в область молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов мире электрона и ему подчинены будут явления квантов». В.И. Вернадский
«Новым в науке явилось не выявления принципа симметрии, а выявление его всеобщности», - писал академик В.И.Вернадский
Действительно, еще Платон мыслил атомы четырех стихий - земли, воды, огня и воздуха – геометрически симметричными в виде правильных многогранников.
И хотя сегодня «атомная физика» Платона кажется наивной, принцип симметрии через два тысячелетия остается основополагающим принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физический явлений.
Биология.
Так же мы можем рассмотреть симметрию в структуре строения молекулы ДНК:
В хромосомах, даже в размножении эвглены зеленой.
Размножаясь, она делится на абсолютно симметричные друг другу части.
Эстетическая ценность симметрии
Почти все кристаллы, встречающие в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии.
Господство симметрии в природе, объясняется прежде всего эстетическая ценность симметрии для человека. С детства человек привык к билатерально симметричным родителям, затем у него появляются билатерально симметричные друзья ; он видит зеркальную симметрию в бабочках, птицах, рыбах, животных, поворотную в стройных елях и волшебных узорах снежинок, переносную – в оградах парков, решетках мостов, лестничных маршах, бордюрах, которые издревле были любимым декоративным элементом зеркальной симметрии.
Поворотная симметрия
Винтовая симметрия
В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия.
Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света
Переносная симметрия
Человек привык видеть в природе вертикальные оси и плоскости симметрии, и вертикальные симметрии воспринимаются нами гораздо охотнее. Мы нигде не увидим обои с горизонтальными осями симметрии, ибо это вызвало бы неприятный контраст с вертикальной симметрией растущих из окна деревьев.
Единственная горизонтальная симметрия,которую мы встречаем в природе, - отражение в зеркале воды. Возможность, в необычности такой симметрии и заключается ее завораживающая сила.
Таким образом, симметрия воспринимается человеком, как проявления закономерности, порядка царящего в природе. Восприятие закономерного всегда доставляет нам удовольствие, сообщает некоторую уверенность и даже бодрость.
Итак, симметрия воспринимаемая человеком как закономерность структуры, как внешнее проявления внутреннего порядка, начинает обладать эстетической ценностью, т.е. воспринимается как красота.
Простой пример нас убеждает в этом.
Чернильная клякса сама по себе некрасива. Но стоит перегнуть лист бумаги с невысохшей кляксой пополам, и мы получим кляксу, которая уже производит приятное впечатление. Зеркальная симметрия новой кляксы, т.е. закономерное расположение ее частей, и определяет красоту нашей «рукотворной « кляксы. Знание законов геометрической симметрии сделает такие поиски быстрыми и плодотворными.
На рисунке изображены узоры, полученные с использованием различных типов геометрической симметрии.
Узор на рисунке б получен с помощью зеркальной симметрии, узоры на рисунке в называется бордюром и представляет собой тип переносной симметрии, когда предыдущая фигура совпадает с последующей при поступательном перемещении вдоль бордюра на постоянный интервал (шаг симметрии). Нижний бордюр имеет более сложный закон построения, чем простая переносная симметрия. Всего существует семь типов бордюров. На рисунке г показаны так называемые «розетки», которые получаются поворотом вокруг вертикальной оси на угол 360° /n (n=2,3,4, …), т.е. обладает симметрией n-го порядка. Верхняя розетка имеет поворотную симметрию 6-го разряда, средняя – 8-го разряда, нижняя же сочетает зеркальную и поворотную симметрию, но в то же время она имеет чисто поворотную симметрию 3-го разряда. На следующем рисунке показаны два орнамента из семнадцати возможных.
Другим важным фактором, составляющим эстетическое содержание симметрии, является ее целесообразность , которая также есть проявления закономерного. Уже первобытные люди понимали, что симметричные орудия более целесообразны, чем не симметричные, таким образом в эпоху неолита симметрия была выделена как наиболее совершенная форма, о чем свидетельствуют многочисленные украшения с симметричными рисунками.
Симметрия в искусстве.
Идея связи прекрасного с симметрией пронизывала всю греческую философию, все греческое искусство. Достаточно вспомнить строго симметричные формы античных архитектурных памятников, изумительную стройность греческих ваз, математическую строгость их орнамента.
Симметрия как объективный признак красоты проходит через всю историю искусств. Она использовалась в архитектуре и скульптуре, симметрия господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции и Рима, средневековья и Возрождения.
Зеркальная симметрия: нагрудное украшение с именем фараона XX до н.э.
Переносная симметрия. Персеполь. Барельеф с
персидскими воинами. Начало 5 века.
Поворотная симметрия 12-го порядка: мозаика купола баптистерия в Равенна.V в.до.н.э. Италия
На следующих примера хорошо просматривается симметрия.
Архитектура и симметрия
Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения искусства: архитектура, живопись, скульптура и т. п. Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий.
Скульптура и живопись тоже дают множество ярких примеров использования симметрии для решения эстетических задач.
Триумфальная арка. Москва 1834г. (слева)
Метод симметрии. Свойства симметрии. Решение задач.
Как мы знаем, слово «симметрия» в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении плоскостей». В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии. В результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи. А для того, чтобы освоить «метод симметрии» надо сначала вспомнить основными свойствами симметрии.
- Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно прямой
- Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам
- Если отрезок MN симметричен отрезку относительно прямой l, то их длины равны.
Из свойств симметрии следует важное свойство плоскости.
- Если А – некоторая точка плоскости,а В точка на прямой, то длина отрезка АВ будет наименьшей, если отрезок АВ перпендикулярен l
Задача: (которая является классической задачей геометрии, входит в ее золотой фонд)Дана прямая l и точки А и В по одну сторону от нее. Найдем на прямой точку М, чтобы путь из А в В через М был кратчайшим, т.е. длина ломанной АМВ была бы наименьшей.
Решение:
Построим точку А1,симметричную точке А относительно прямой l. Проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой.
Задача 2. Ученик нарисовал на доске окружность, отметил на ней точки А,В,С и стер ее, оставив лишь эти точки. Как восстановить окружность?
Решение:
Точки В и С симметричны относительно диаметра, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярны ему. Аналогично и точки А и В. Таким образом, построив, перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС, мы получим точку их пересечения, Это центр окружности, так как через не проходит оба диаметра.
Задача 3. На плоскости дан острый угол и точка внутри него. Найти на сторонах угла две точки М и N так, чтобы длина замкнутого пути АМNА (АМ +MN + NА) была наименьшей.
Решение:
Надо построить точки А1 иА2, симметричные точке А относительно сторон угла.. Прямая А1А21 пересечет стороны угла в искомых точках М иN.
Задача 4. На рисунке изображена сеть правильных треугольников. Не выполняя никаких построений, укажите:
а) точки, симметричные точкам В4,В5, D3 относительно прямой А4D2.
б) образ отрезка В2С2 в результате последовательного отражения его от осей В3D2 и В1В5.
в) ось симметрии отрезков А3В4 и В4В5.
Ответ: а) В4,А3,С2. б) В4А3. в) А4D2.
Задача 5. Выберите из данного множества точек: (1;5), (3;-2), (-1;5), (0;-7), (5;-1), (0;7), (-2;3), (4;0), (0;4), (2;1), (1,-10) точки попарно симметричные относительно оси Ох, оси Оу, биссектрисы I и III координатных углов.
6. Творческие работы учащихся
Выступление учащихся по теме
- Симметрия, подсказанная природой.
- Симметрия в искусстве.
- Симметрия в науке и технике
Провести конкурс: «Сюжетные картинки в координатной плоскости».
(Приложение 1)