Урок в 9-м классе "Решение рациональных уравнений"

Разделы: Математика

Цель:

  • Обобщить, углубить знания учащихся по решению рациональных уравнений.
  • Способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей учеников путем решения заданий, содержащих модули, параметры.
  • Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанaлизу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, магнитная доска, плакаты.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Устный опрос

Проводится в виде фронтальной работы с классом. Ученики комментируют свои ответы.

Задания можно разделить на две части: в первой части проверяются теоретические знания, во второй – умения применять эти знания при решении уравнений.

Какие из чисел -2, 0, 2 являются корнями уравнений?

Уравнение

х3-4х=0

х(х2-4х+4)=0

х3-2х=0

х3-4х+4=0

Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.

Например, решая уравнения, можно было рассуждать так:

Пример 1

Пример 2

х(х+3)=2х,
х+3=2,
х=-1
 Ответ: х=-1.


 х2+х-1=4х-3,
х2-3х+2=0,
 х = 1 или х=-2.
Ответ: х=l, х=-2.

На самом деле допущены ошибки. Какие?

- В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х = 0, а в примере 2 появился « посторонний» корень х = 1.

- Как же избежать таких ситуаций??

- Прежде всего нужно четко понимать, какие действия нужно выполнить в ходе решения уравнения.

- Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.

3. Проверка домашнего задания.

На экране или на оборотной стороне доски заранее заготовлены ответы домашнего задания. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

Предварительное домашнее задание

Задание 1. Решить уравнения:

  1. (х-5)2+9х=
  2. х2+0,7=0.
  3. (х-5)(х+3)=9.
  4. - = 1 +
  5. (х-5)(х+3)= 1-2х.
  6. (х-5)(х+3)=3(х-5).
  7. 2( х+ 1) - 1=3 -(1 -2х).
  8. 1 - 2х+4х2=х2-2х+ 1.
  9. 3 (1 -х)+2=5-Зх.
  10. 2х2+Зх+4 =0.
  11. x2+6x+4=0.
  12. 25х2-30х+9=0.

Ответы:

  1. х=3
  2. Нет действительных корней..
  3. х = - 4, х = 6.
  4. х = -
  5. х1, 2 = ± 4.
  6. х=0, х=5.
  7. Нет действительных корней.
  8. 0.
  9. Бесконечное множество корней (х  R).
  10. Нет действительных корней.
  11. х1,2 = -3±.
  12. х1=х2=

Провести классификацию уравнений, заданных в домашней работе по виду. В результате выполнения задания приходим к выводу (на экране проецируется через проектор).

Задание 2. Подготовить одну физическую задачу, показывающую, что рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.

В результате обсуждения и проверки домашнего задания выясняется сущность решения уравнений:

  • Уравнения являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений.
  • Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) - выражение от неизвестной х.
  • Областью определения уравнения называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.
  • Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.
  • Линейные и квадратные уравнения решаются по готовым формулам, они называются простейшими. Главная задача при решении любого уравнения - свести его к простейшему.

4. Работа по теме урока.

Этап I. Тест.

Цель : Проверить навыки решения простейших уравнений.

Работа проводится по карточкам в двух вариантах, состоящих из 20 уравнений, записанных в столбец. Для выполнения задания учащийся берет полоску бумаги и кладет ее справа от столбца, по которому собирается работать.

Решая, ученик записывает только ответы; напротив задания, вызвавшего затруднение, ставит прочерк; по истечении времени, отведенного на выполнение теста, по команде учителя листы подписываются и сдаются. Учитель открывает заранее записанный на доске список правильных ответов и критерии оценок. Проводится быстрая самопроверка решений. Для оценки работы надо: поставить знак «+» против верного ответа и знак «-» против неверного; подсчитать число плюсов.

Критерии оценок: «5» - за 20 плюсов; «4» - за 15-19 плюсов; «3» - за 10-14 плюсов; «2» - за 9 и менее плюсов.

Приложение 1

Этап 2.

Цель : установить связи между корнями квадратных, линейных уравнений и их коэффициентами.

№

Уравнение

 

1

2(х+7)=2х+14

бесконечное множество корней

2

3(х-1)-5(5+х)=7

решений не имеет

3

(а2 -9)х=а2-5а+6

линейное уравнение с параметром; в зависимости от значения параметра а уравнение может иметь различное количество корней

4

имеет один корень

Решить уравнение с параметром а - это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

(а2 - 9)х = а2 - 5а + 6.

Решение.

Случай 1: а2-9=0.Тогда а=-3 или а=3.

Если а = - 3, то исходное уравнение примет вид 0х = 30 и корней не имеет.

Если а = 3, то получаем уравнение 0х = 0, для которого любое действительное число является корнем.

Случай 2: а2-90, т.е.а {-3;3}.

Выразим х через а:

 х=

Ответ: если а = - 3, то корней нет;

если а = 3, то хR; если а  {- 3; 3 } , то один корень .

Обобщая результаты решения уравнения, получаем связь числа корней линейного уравнения с его коэффициентами. На доске, можно собрать схему из заранее подготовленных карточек и прикрепит на доске магнитами или проецировать через экран.

Связь числа корней квадратногo уравнения ах2 + вх + с = 0 (а 0) с его дискриминантом Д = в2 - 4ас, и для каждого случая аналитического решения указать геометрическую модель.

Дальше:

 Уравнения

1. х2+ах+12=0

2. ах2-2х+4=0

3. 2х2+4х+а=0

х2+ах+12=0 и 2х2+4х+а=0 - квадратные уравнения с параметром. В этих уравнениях параметр а входит в состав второго коэффициента и свободного члена; ах2-2х+4=0 - это также уравнение с параметром, но параметр а входит в состав коэффициента при x2 многочлена второй степени. Это уравнение нельзя сразу решить по формулам для отыскания корней квадратного уравнения, т. к. о заданном уравнении мы не можем сказать, квадратное оно или линейное.

Если коэффициент при x2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Решим уравнение ах2 - 2х +4 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая, когда а = 0 и когда а0.

1. при а=0 уравнение линейное -2х +4 = 0. Откуда х = 2.

2. При а уравнение квадратное, Д= 4- 1ба.

Если Д< 0, т. е. а> , уравнение решений не имеет.

Если Д= 0, т. е. а = , то уравнение имеет единственный корень х = 4.

Если Д> 0, т. е. а< , то уравнение имеет два корня .

О т в е т: если а>, то решений нет; если а =, то х = 4; если а<, а0, два корня ; если а = 0, то х=2.

Далее ученикам предлагается обобщить результаты домашнего задания, выполнив следующее. Задание проецируется на экран.

По окончании выполнения заданий открываются правильные ответы.

Этап 3.

1 задание. Установите связь между коэффициентами неполного квадратного уравнения и его корнями.

2 задание.

Установите связь между коэффициентами полного квадратного уравнения ax2 + вх + с= 0 (а  0) и его корнями. 

3 задание. Решить уравнение несколькими способами: x2 -6х + 8= 0.

Далее открываются правильные решения (заранее заготовленные учителем). Учащиеся проводят взаимопроверку.

Вывод: уравнение можно решить разными приемами: способом группировки, вынесением общего множителя за скобки, использованием формул сокращенного умножения, способом выделения полного квадрата, разложением на множители квадратного трехчлена, графически. Все перечисленные приемы объединяет метод разложения на множители.

Этап 4. Показать использование методов разложения на множители и метода введения новых переменных .

Решить уравнение:

(х2 + х + 4)2 + 8х(х2 + х + 4) + 15х2 = 0

Решение 1. Разложим многочлен на множители способом выделения полного квадрата, предварительно представив слагаемое 15х2 =16х2-х2.

Имеем:

(х2+х+4)2+8х(х2+х+4)+15х2=(х2+х+4)2+2*4х(х2+х+4) +16х2-х2 = ((х2+х+4)+4х)2 –х2= (х2+х+4+4х-х)(х2+х+4+4х+х)=(х2+4х+4)(х2+6х+4)=0

х2+4х+4=0 х2+бх+4=0
х=2 х=-3

Все три найденных числа являются искомыми корнями.

Ответ:-3±;2.

Решение 2. Разложим многочлен на множители, используя способ группировки; предварительно представляя слагаемое

8х(х2+х+4)=3х(х2+х+4)+5х (х2+х+4).

Тогда (х2+х+4)2+8х(х2+х+ 4) + 15х2 = (х2+х + 4)2+3х(х2+х+4)+5х(х2+х+4)+15х2= (( х2+х+4)2+Зх(х2 х+4))+(5х(х2+х+4)+15х2) = (х2+х+4)(х2+х+4+3х)+5х(х2+х+4+Зх) = (х2+х+4+5х)(х2+х+4+Зх) = (х2+4х+4)(х2+6х+4) = (х2 +х +4)(х2+бх+4) = 0

Ответ:-3±;2.

Решение 3.

Ввести новую переменную у = х2+ х + 4, тогда уравнение примет вид у2 + 8ху + 15х2 = 0.

Учащиеся выбирают способ решения по желанию.

  1. способом группировки
  2. способом выделения полного квадрата
  3. относительно у, используя утверждение, обратное теореме Виета.
  4. как квадратное уравнение (относительно у) с четным вторым коэффициентом.

Вывод. Удачный выбор новый переменной делает решение уравнения более легкой.

Учитель вместе с учащимися формулирует суть метода введения новых переменных.

  • Если уравнение f(х) = 0 удалось преобразовать к виду w(g(х)) = 0, то нужно ввести новую переменную у = g(х), решить уравнение w(у) = 0, а затем рассмотреть совокупность уравнений: g(х)=y1, g(х)=у2....где у1, у2...уп корни уравнения w(у) = 0.

На доске:

1

х4+8х2-9=0

4

 х2-/х/=0

2

(х+2)2-2/х+2/-3=0

5

х(х-1)(х-2)(х-3)=24

3

(х2+1)2-6(х2+1)+5 =0

б

- Какое из уравнений можно решить методом графическим, методом разложения на множители, методом введения новых переменных? (4)

- Что объединяет остальные уравнения?

Ответ: уравнение №1 - биквадратное, №2 -квадратное относительно модуля, №3 - квадратное относительно квадратного трехчлена, № 5-6 - рациональные уравнения.

Эти уравнения решаются методом замены переменной.

Решаем уравнение: х2 – 2 /х/ = 0

Метод разложения на множители.

Решение:

1) Если х  0, то / х /= х; х2 - 2х = 0; х = 0 или х = 2; оба значения удовлетворяют х .

2) Если х < 0, то /х /=- х; х2 + 2х = 0, х = 0 или х = -2;

Второе из найденных значений удовлетворяет условию х < 0 . Ответ: -2;0;2..

Графический метод.

Ответ: -2;0;2..

Метод введения новых переменных.

Решение:

Пусть /х/=t, тогда t2 -1 = 0, откуда получаем t = 0 или t =2.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем х =2; х = -2; х = 0. Ответ: -2;0;2.

Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.

Этап 5. Самостоятельная работа (уровень по выбору учащихся).

Решить уравнения:

 

 

Уровень А: 1. х3-5х2-6х=0;

 

 

2. х4-6х2+5=0;

 

 

Уровень В: 1. х6-5х5+ 6х4-х2+5х-6=0;

 

 

2. (х2+1)2-6(х2+1)+5=0;

 

 

Уровень С: 1. (х2-5х-6)(1- /2х-1/)=0;

 

 

2. х2-6 /х /+5=0

Ответы:

 

 Уровень А: 1. -1;0;6;

 

 

2. 1;-1;

 

 

Уровень В: 1. -1;1;2;3;

 

 

2. 0;2;-2;

 

 

Уровень С: 1.-1;6;1;0;

 

 

2. 1;-1;5;-5;

Этап 6. Итоги урока. Домашнее задание.

1. Найдите наименьшее целое q, при котором уравнение х2 - 5х + q = 0 не имеет корней.

2. Найдите наименьший корень уравнения 2х5+ 2х4-3х3-3 х2+х+1=0.