Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин

Колобанова Галина Ивановна

Эпиграф: Изучение математики … важно в двух отношения: во-первых по сильному влиянию этой строгой науки на развитие умственных способностей, во-вторых по обширности её приложения.

Михаил Остроградский.

ХОД УРОКА

I. Оргмомент

II. Контроль исходного уровня

Проводится в виде теста по вариантам.

Вариант 1.

Завершите фразы: «Если на отрезке [1;3] производная …, то на этом отрезке функция y …»

то y если	монотонно возрастает	имеет максимум во внутренней точке	имеет минимум во внутренней точке	постоянная	монотонно убывает
y' = x³ + 2x
y' = –2x² + 4
y' = –2x + 4
y' = 0
y' = 2x² – 4

Обучающиеся выполняют работу и обмениваются работами для взаимной поверки по готовой таблице, изображенной на доске. Каждое задание оценивается одним баллом.

Ответ:

Вариант 1
+
	+
	+
			+
		+

Вариант 2

Завершите фразы: «Если на отрезке [– 2;0] производная …, то на этом отрезке функция y …»

то y если	монотонно убывает	имеет максимум во внутренней точке	имеет минимум во внутренней точке	постоянная	монотонно возрастает
y' = –3x² + 5
y' = –3x + 5
y' = 2x³ + x
y' = 3x² + 5
y' = 0

Ответ:

Вариант 2
	+
			+
+
			+
		+

III. Изучение нового материала. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений функции на отрезке

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или, как говорят, оптимального решения поставленной задачи. Как располагая определенными ресурсами добиться максимальной прибыли, минимальных потерь, наименьших затрат времени и. т. п. Вы уже имеете некоторый опыт нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Чаще всего использовали для этого график функции, что не всегда удобно. Подобные задачи поддаются исследованию с помощью методов математического анализа.

Учащиеся, анализируя рисунки, делают выводы:

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
Наименьшего и наибольшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Составляется алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a;b]

Найти производную f'(x).
Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b]
Вычислить значения функции y = f(x) в полученных точках и на концах отрезка [a;b]

IV. Практическая часть

Решение у доски:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ +3x² –45x – 2 на отрезке [–6;0]
Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = на отрезке [0;4]

Решение: y' = функция монотонно возрастает, значит она принимает наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка. y_наим= f(0) = –1; y_наиб = f(4) = .

Работа в группах.

1. Найти наибольшее значение функции y = 3x + 4
2. Найти наименьшее значение функции y = 4x – 3
3. Найти наименьшее значение функции y = 0,25x – + x² + ()²
4. Найти наибольшее значение функции y = – 0,5x + x² + ()²

После самостоятельной работы решение заданий третьей и четвёртой групп уровня С1 вариантов ЕГЭ рассматриваются на доске.

Обсуждение подходов к решению

Первый шаг. Необходимо начать решение не с упрощения формулы, а с нахождения области определения исходной функции.

Второй шаг. Учитывая область определения упростить формулу. И получили стандартную задачу нахождения наименьшего значения непрерывной на отрезке функции.

Решение: