Элементы комбинаторики

Размещения

№ 1. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?

Решение:

34 = 12 (способов)

Ответ: 12 способов.

№ 2. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?

Решение:

= = = = 16 (способов)

= = 10

Ответ: 16; 60.

№ 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?

Решение:

+ = + = 21 + 19

Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше возможностей для выбора.

Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

№ 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

Решение:

= = = 5.

Ответ: 1680

№ 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Решение:

= = . Ответ: 24.

№ 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

= = = = = 29870(способов).

Ответ: 870.

№ 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Решение:

= = = = 6.

Ответ: 336.

№ 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов?

Решение:

= = = = 5 = 210 (способов).

Ответ: 210.

№ 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?

Решение:

= = = =

= = =13 = 2730 (способов).

Ответ: 2730.

№ 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв?

Решение:

= = = = 22 (способов)

Ответ: .

№ 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не повторяются?

Решение:

= = = 2 = 120 (способов).

Ответ: 120.

№ 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не повторяются?

Решение:

= = - = 5! -4! = 4!(5 - 1) = 1.

Ответ: 96.

№ 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

Решение:

= = - = - =

= 44 = 4 (номеров)

Ответ: 544320.

№ 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5?

Решение:

2= = = 2 2) = = = = 2

Ответ: 12; 48.

№ 15*. Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.

Решение:

=20;

= 20 ОДЗ: х

= 20

х² - х - 20 = 0

х₁=5, х₂= - 4(исключить).

Ответ: 5.

= 6.

= 6

= 6 ОДЗ: х

= 6

(х-4)(х-3) = 6

х² -3х -4х + 12 - 6 = 0

х² - 7х + 6 = 0 х₁ = 6, х₂ = 1 (исключить).

Ответ: 6.

Перестановки

№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Решение: Р₄ = 4! = 1 = 24 (способа)

Ответ: 24.

№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение: Р₇ = 7! = 1

Ответ: 5040.

№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

Решение: Р₅ = 5! =1 (выражений)

Ответ: 120.

№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:Р₃ = 3! = 1(вариантов)

Ответ: 6.

№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение:

1) Р₆ = 1720.

2) Р₆ - Р₅ = 6! - 5! = 1

Ответ: 1) 720; 2) 600.

№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

Решение:

1) Р₃ =3! = 1 2) Р₃ =3! = 1

Ответ: 1) 6; 2) 6.

№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

Решение:

Р₄ = 4! = 1 = 24

1+3+5+7 = 16 16

Ответ: 384.

№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

Решение:

2.

Ответ: 48.

№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг - это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

Решение:

Р₇₅ = 7! 5! = 1

Ответ: 604800.

№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки - на четных?

Решение:

Р₁₀ = 10! =1 - расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.

Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки - на четных, то таких способов будет равно: Р₅₅ = 5!5! = 1

Ответ: 3628800; 14400.

Сочетания

№ 1. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: = = = = 21(способ).

Ответ: 21.

№ 2. В магазине "Филателия" продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: = = = = 56 (способов).

Ответ: 56.

№ 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение:

= = = = 210 (способов).

Ответ: 210.

№ 4. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение: из 3 книг, которые надо выбрать - нужны 1 словарь и 2 художественные = Р₁ = 1! = 1 (способ) 2 художественные из 11 художественных можно выбрать = = = = 55 (способов).

Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно выбрать

= = = = 55 (способов)

Если не нужен словарь, то

= = = = 165 (способов).

Ответ: 55; 165.

№ 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

= = = = = 400400(способами)

Ответ: 400400.

Решите упражнения 6-26, используя известные вам формулы и правила комбинаторики.

№ 6. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

Решение:

= = = = 120(способов).

Ответ: 120.

№ 7. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

Решение:

= = = 870 (фотографий).

Ответ: 870.

№ 8. Сколько перестановок можно сделать из букв слова "Харьков"?

Решение: Р₇ - Р₆ = 7! - 6! = 6!(7-1) = 6! = 1

Ответ: 4320.

№ 9. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

Решение:

= = = = 3

Ответ: 3960.

№ 10. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?

Решение:

= = = = 59280 (способов)

Ответ: 59280.

№ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?

Решение: = = = = 28 (прямых линий)

Ответ: 28.

№ 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

Решение: = = = 2(разных пятизначных числа)

Ответ: 126.

№ 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.

Решение: общая формула вычисления диагоналей у n- угольника

= = = ;

1. n=5, то = 10 (диагоналей)
2. n=12, то = 66 (диагоналей)
3. n=8, то = 28 (диагоналей)
4. n=15, то = 105(диагоналей)

Ответ: 10; 66; 28; 105.

№ 14. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Решение: Р₃ = 3! = 1 = 6 (флагов).

Ответ: 6.

№ 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Решение: = = = 360 (разных плоскостей)

Ответ: 360.

№ 16*. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 2, 4, 6, 8 без их повторения?

Решение: Р₅ - Р₄ = 5! - 4! = 4! (5-1) = 4! 4 = 1 3 = 96 (разных пятизначных чисел)

Ответ: 96.

№ 17. Среди перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сколько таких, которые не начинаются цифрой 5? числом 12? числом 123?

Решение: 4! = 1 3 - перестановок начинаются цифрой 5.

3! = 1 3 6 - перестановок начинаются цифрой 12.

2! = 1 перестановок начинаются с цифрами 123.

№ 18. Среди сочетаний из 10 букв a, b, c, ... по 4 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

Решение:

1) - = - = - = - =

= = 63 (сочетаний не содержат букву a)

2) ) - = - = - = - =

= = 140 (сочетаний не содержат букву a и b)

Ответ: 126; 140.

№ 19. Среди размещений из 12 букв a, b, c, ... по 5 сколько таких, которые не содержат буквы а? букв a и b?

Решение: - = - = - = =7 = 83160 (размещений)

- = - = - = =720(132 - 1) = 94320 (размещений)

Ответ: 83160; 94320.

№ 20. Сколько необходимо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

Решение: = 12 ОДЗ: х N;

x>4

= 12

(х-3)(х-2)(х-1)х = 12х(х-1)

(х-3)(х-2) = 12

х² -2х -3х +6 = 12

х² -5х - 6 = 0 =6, =-1

Ответ: 6.