Семинар–практикум "Показательные и логарифмические уравнения". 10-й класс

Цели: систематизировать знания обучающихся по методам решения показательных и логарифмических уравнений; обобщить изученный материал; выяснить вопросы, которые недостаточно освещены.

Вопросы семинара.

1. Методы решения показательных уравнений.

2. Свойства логарифмов.

3. Методы решения логарифмических уравнений.

4. Решить уравнения:

1. 4^х + 3^х-1 = 4^х-1 + 3^х+2
2. 3 ^. 4^х - 5 ^. 6^х + 2 ^. 9^х = 0
3. 2^х + 5^х = 2.
4. 
5. 
6. 

5. Подобрать уравнения (1-2), которые вы затрудняетесь решить.

I. Доклад (8 минут).

№ 1. Решение показательных и логарифмических уравнений основано на свойствах функции у=а^х и у= соответственно где 0 < a < 1 или a>1.

Таблица. Функции их свойства и графики.

№ 2. Простейшие показательные уравнения

b > 0, x = log_ab;

а^х = b при

b<0, уравнение не имеет корней.

№ 3. При решении показательных уравнений используют следующие методы:

1. Приведение к одному основанию

2. Вынесение за скобку общего множителя 7^х +7^х+2 = 50;

3. Замена переменной 25^х + 5^х+1 – 6 = 0;

4. Логарифмирование обеих частей уравнения 2^х = 12;

5. Графический

Для преобразования показательных уравнений, используют свойства степени.

№ 4. Уравнения вида – называются простейшими логарифмическими (a>0, a1).

, при всех допустимых “а” имеет единственное решение х = а^b.

При решении логарифмических уравнений применяют часто следующие преобразования:

основанные, на свойствах логарифма.

В решение логарифмических уравнений используют следующие методы:

1. Используя преобразования, приводящие уравнение к виду



2. В решении используют метод замены переменной (вводим новую переменную и сводим уравнение к алгебраическому, решив его возвращаемся к первоначальной переменной.

2 lg² х – 5 lg x – 7 = 0,

Рассмотрены основные методы (приемы) решения показательных и логарифмических уравнений.

Содокладчик № 1

Познакомимся с другими методами решения показательных уравнений.

Метод, основанный на составлении отношений.

Разберем на конкретном примере.

№ 1. 4^х + 3^х-1 = 4^х-1 + 3^х+2 преобразуем уравнение

, т.к. 3^х > 0, разделим уравнение на 3^х, получим имеем - откуда х =

х = 1 +

или

№2. 2^х+1 - 2^х-1 = 3^2-х;

2 ^. 2х – 1/2 ^. 2х = 9 ^. 1/3^х ,

т.к. 3^х > 0, умножили уравнение на 3^х, получили 6^{х .} 3/2 = 9, 6^х = 6, откуда х = 1.

Оппонент

Уравнение №1 можно решить и используя основные методы решения.

4^х - 4^х-1 = 3^х+2 - 3^х-1

,

прологарифмируем уравнение

х = х = 1 +

Необходим ли этот метод?

Эксперт (ответ оппоненту)

Уравнение №1 можно решить, используя свойства логарифма, метод логарифмирования. Но преобразования в этом случае громоздки. Предложенный ваш метод является для данного случая более рациональным.

Содокладчик № 2

1. Использование однородности в решении уравнений.

3 ^. 4^х - 5 ^. 6^х + 2 ^. 9^х = 0, 3 ^. 2^2х - 5 ^. 3^{х .} 2^х + 2 ^. 3^2х = 0.

Заметим, что левая часть уравнения однородный многочлен степени 2.

Разделим обе части уравнения на 2^2х (2^2х >0) и полагая t получим уравнение 2t² – 5t + 3 = 0, t₁ = 1, t₂ = .

Вернемся к первоначальной переменной.

= 1 или, откуда х₁ = 0, х₂ = 1.

2. Уравнение вида 2^х + 5^х = 2 можно решить, используя свойства монотонности функции, т.к. g(x) = 2^x и f(x) = 5^x функции монотонно возрастающие, а у = 2 – функция постоянная. Т.о. графики функций у = 2 и у = 2^х + 5^х могут пересекаться в одной точке, уравнение имеет единственное решение. Методом подбора определяем корень уравнения х = 0.

Оппонент

Уравнение 2^х + 5^х = 2 можно решить графически.

Эксперт

Да, уравнение 2^х + 5^х = 2 можно решить графически т.к. в правой части уравнения небольшое число. А вот решить графически уравнение 2^х + 5^х = 29 уже вызывает трудности. А предложенный метод (основанный на свойстве монотонности функции) дает быстрый ответ.

Провокатор

Уравнение

• не является однородным;
• графически решить можно, но сложно
• логарифмирование тоже не дает желаемого результата;
• методы 1, 2, 3, 4 – не подходят.

Как найти решение данного уравнения?

Эксперт

Из всех перечисленных методов, подходит метод замены неизвестного.

В основании степеней взаимообратные числа

Введем переменную , тогда , получим уравнение Решение которого не вызывает трудности. Затем перейти к первоначальной переменной.

Содокладчик № 3

В решении логарифмических уравнений, используют и метод потенцирования.

Переход от равенства, содержащего логарифм, к равенству, не содержащему их, называется потенцированием. При этом область определения уравнения расширяется, необходимо сделать проверку.

Примеры:

№ 1

Проверкой устанавливали, что число () – не является корнем уравнения, т.к. логарифм отрицательного числа не существует, а число - является корнем.

Ответ:

Оппонент

В преобразовании логарифмических уравнений, используют свойства логарифмов

При решении уравнения, используя это свойство и решая его двумя способами, получаю разные ответы: если перехожу от получаю ответ 3;

если перехожу от , то уравнение не имеет корней.

1 способ

Проверкой устанавливаем, что 3 – корень уравнения.

2 способ

корней нет.

Можно ли использовать данное свойство в преобразовании логарифмических уравнений?

Эксперт

Ответ оппоненту.

В преобразовании логарифмического уравнения можно использовать данное свойство, но нужно знать, что переход возможен, если a = 2к+1, к Є Z при этом х > 0, если a =2к, к Є Z, то .

2к – четная степень т.о. х^2х > 0, a x – может быть как положительным так и отрицательным.

При решении предложенного уравнения допустимым является преобразование

Провокатор

Все рассмотренные логарифмические уравнения не содержат неизвестного в основании логарифма.

Как решаются логарифмические уравнения, содержащие переменную в основании?

Примеры 1) log_x 5 = 2; 2) log _–x 25 = 2.

Эксперт

При решении уравнений, содержащих переменную в основании логарифма, необходимо учитывать условие существования логарифма. В решении можно использовать перечисленные методы.

1. log_x5 = 2
2. log_-x 25 = 2, (-x)² = 25, x=5.

Проверкой устанавливаем, что х = -5 – корень уравнения.

Приложение 1 (Презентация)

Итог урока

Дифференцированное домашнее задание

3 уровень (повышенный)

Решите уравнения

1. log _0,5 x + log _x 0,5 =4
2. log ₅ (-x) ⁷ +2 =log ₂₅ x ⁸
3. 4 ^х+1 – 6 ^х = 2 9 ^х+1
4. 27 7 ^{х +3} = 147 ^х.
5. (1/5) ^x + (1/3) ^x =34
6. (2+ 3 ) x + ( 2 – 3 ) x=4.

2 уровень (средний)

Решите уравнения

1. log ₂ x + 5log _x 2 =6
2. log ₃ (3 ^x -8) = 2-x
3. 625 9 ^x-2 =15 ^x
4. 5 ^x + 2 5 ^–x -3 =0
5. 2 14 ^x + 3 49 ^x = 2 ^2x
6. 4 ^x = 25 ^x =29.

1 уровень (минимальный)

Решите уравнения

1. 3 ^х =4
2. 729 ^х/3 = 1/9
3. 2 ^x+1 +2 ^x =6
4. 9 ^x + 2 3 ^x – 3 =0
5. log ₃ (x ² -6) = log ₃ x
6. log ₂ ² x – 4 log ₂ x + 3 =0