Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений.
Работа учащихся состоит из нескольких этапов. Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4 этапа, чтобы получить оценку “4” - 5 этапов, чтобы получить оценку “5” - 6 этапов. На каждом этапе ученик встретится с указаниями учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к выполнению заданий.
Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы данного этапа, проверяет ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет учитель. Если допущены ошибки, то ученик их исправляет и решает задания другого варианта, аналогичные тем, где он допустил ошибки. После этого можно переходить к следующему этапу.
1 этап.
Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.
Указания учителя.
Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.
(учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 69 – 73)
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
Решите уравнения:
| 1 вариант | 2 вариант |
| 1) cos x = 1/2 | 1) sin x = -1/2 |
2) sin x = - /2 |
2) cos x = /2
|
| 3) tg x = 1 | 3) ctg x = -1 |
4) cos (x+ )
= 0 |
4) sin (x – /3) = 0 |
| 5) 2 cos x = 1 | 5) 4 sin x = 2 |
| 6) 3 tg x = 0 | 6) 5 tg x = 0 |
| 7) sin 4x = 1 | 7) cos 4x = 0 |
2 этап.
Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.
Указания учителя.
Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.
Пример. 4 – cos2 x = 4 sin x
Так как cos2 x = 1 – sin2 x, то
4 – (1 – sin2 x) = 4 sin x,
3 + sin2 x = 4 sin x,
sin2 x - 4 sin x + 3 = 0,
Пусть y = sin x, получим уравнение
y 2 - 4 y +3 = 0
у1=1; у2=3.
sin x =1 или sin x = 3,
x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет.
Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
Решите уравнения:
| 1 вариант | 2 вариант |
| 1) tg2 x - 3 tg x + 2 = 0; | 1) 2 + cos2 x - 3 cos x = 0; |
| 2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0; | 2) 4 - 5 cos x - 2 sin2 x =0; |
| 3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3; | 3) (1 - cos 2x)/2 + 2 sin x = 3. |
3 этап.
Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.
Указания учителя.
Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.
Пример. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0
Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2 x - sin2 x.
(2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin x) = 0,
Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos2 x = 1 - sin x.
sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0,
sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,
(2 sin2 x - 1) • ( sin x + 1) = 0.
| 2 sin2 x – 1 = 0 | или | sin x + 1 = 0 |
| sin2 x = 1/2, | sin x = - 1 | |
| sin x = ±1/v2 |
Ответ: x1 = ± 
/4 + n, n = Z, x2 = - /2 +2k, k = Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
Решите уравнения:
| 1 вариант | 2 вариант |
| 1) sin2 x - sin x = 0, | 1) ctg2 x - 4 ctg x = 0, |
| 2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, | 2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0. |
4 этап.
Цель: закрепить навык решения однородных уравнений
Указания учителя.
Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.
Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0
Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,
что cos x 
0 (или
sin x 0). (Пусть cos
x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может
быть, так как sin2 x + cos2 x = 1).
Значит, можно делить на cos x:
5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение
5 tg x – 2 = 0
tg x = 2/5,
x = arctg 2/5 + n, n =
Z.
Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.
Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos2 x (или на sin2 x).
Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2.
Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x.
Приведя подобные члены, получим уравнение
10sin2 x + 6sin x cos x - 4 cos2 x = 0.
(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может
быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x 
0).
Разделим обе части уравнения на cos2 x.
10 tg2 x +6 tg x - 4 = 0,
tg x = -1 или tg x = 2/5,
x = - /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.
Ответ: x1 = - /4 + n, n =
Z, x2 = arctg 2/5 + k, k = Z.
Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)
Решите уравнения:
| 1 вариант | 2 вариант |
| 1) sin x - cos x = 0, | 1) 5sin x +6cos x = 0, |
| 2) sin2 x - sin 2x = 3 cos2 x, | 2) 3sin2 x - 2sin 2x +5cos2 x = 2. |
5 этап.
Указания учителя.
Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.
(Учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 7 - 9)
Выполните письменно самостоятельную работу (20 минут)
Решите уравнения:
| 1 вариант | 2 вариант |
| 1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0, | 1) cos 2x + 3 sin x = 2, |
| 2) sin 2x + cos 2x = 0, | 2) sin 2x - cos 2x = 0, |
| 3) cos2 x - cos 2x = sin x, | 3) 6 - 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x, |
| 4) sin 4x - cos 2x = 0, | 4) cos x cos 2x = 1, |
5) 5 - 5 cos ( /2 - x ) = 2 cos2 ( – x), |
5) cos2 (/2 + x ) - cos2 (2 + x) =  /2. |
6 этап.
Указания учителя.
Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Выполните письменно самостоятельную работу
(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).
Решите уравнения:
- sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,
- 29 - 36 sin2 (x – 2) - 36 cos (x – 2) = 0,
- 2sin x cos x +
– 2 cos
x - v3 sin x = 0, - sin 4x = 2 cos2 x – 1,
- sin x (sin x + cos x ) = 1,
- 1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11.
Подсказки:
- Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.
- Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 - cos2 y.
- Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.
- Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos 2x.
- Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
- Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите уравнение к квадратному.
Оцените свои работы самостоятельно.
Домашнее задание:
Если вы выполнили задания всех этапов, то дома № 163-165 – любое уравнение (учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 333)
Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома задания 6 этапа.
Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома задания 5 этапа, и т.д.