Бенефис квадратных уравнений

Разделы: Математика

Урок № 1

Тема урока: Бенефис квадратных уравнений.

Цели урока: обобщение темы «Квадратное уравнение»: определение, неполные уравнения, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета, биквадратные уравнения.

Форма урока: соревнование «Квадратное уравнение», каждый этап которого отражает один из перечисленных выше разделов теоретического материала.

Подготовка  к уроку:

Класс делится на четыре группы, каждой группе дается карточка, содержащая вопросы по теории и практические задания одного раздела. Каждая группы учащихся работает самостоятельно и должна по окончании работы подвести итог, в котором обязательно должно быть следующее:

  • краткий конспект по теории с ответами на поставленные учителем вопросы;
  • решение всех практических заданий;
  • четыре варианта заданий для остальных групп.

После обсуждения каждого из четырех этапов, каждая группа должна решить четыре варианта, подготовленные другими группами.

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель распределяет учеников на четыре группы и рассаживает их компактно, для удобной работы. Раздает всем группам заранее подготовленные корточки с теоретическими вопросами и практическими заданиями. Группа выбирает командира – для написания конспекта и ответов на вопросы, остальные учащиеся распределяют работу по решению задач и написания задания для других групп. Время написания каждого этапа – 10 минут.

2. Этап – I: «Определение квадратного уравнения; неполные уравнения».

Определение:

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + bx +c = 0,
где коэффициенты a,b,c – любые действительные числа, где а .

а – первый или старший коэффициент.
b – второй коэффициент.
c – свободный член.

Квадратное уравнение полное

Приведенное квадратное уравнение

ах2 + bx +c = 0

х2+

Неполное квадратное уравнение

a, b = 0, c = 0
ax2 = 0
x = 0

a, b, c = 0
ax2 +bx = 0
x(ax+b)=0

a, b = 0, c
ax2 +c =0
x2 = -
x1,2 =, <0

Вопросы:

  1. Какие уравнения называются квадратными?
  2. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
  3. Какие уравнения называются приведенными?
  4. Какие бывают неполные квадратные уравнения?
  5. Описать методы решения неполных квадратных уравнений.

3. Этап – II. «Формула корней квадратного уравнения»

Квадратное уравнение: ax2 + bx + c =0

Дискриминант: D = b2 – 4ac.

Алгоритм решения квадратного уравнения общего вида

Условие

Решение

D < 0

Уравнение не имеет корней

D = 0

Уравнение имеет один корень: x = -.

D < 0

x1 = , x2 =.

Вопросы:

  1. Запишите общую формулу квадратного уравнения.
  2. Что такое дискриминант?
  3. Какая зависимость между знаком дискриминанта и количеством решений квадратного уравнения?
  4. Запишите формулу корня уравнения, если D = 0.
  5. Запишите формулу корня уравнения, если D < 0.

4. Этап – III. «Теорема Виета»

Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q =0

Дискриминант: D = p2 – 4q.

Теорема Виета для приведенного уравнения:

«Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену»:

x1 + x2 = - р; x1x2 = q

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:

x1 + x2 = -; x1x2 =

Обратная теорема Виета:

Если числа x1 и x2 таковы, что x1 + x2 = - р; x1x2 = q,
то эти числа – корни уравнения  x2 + px + q =0.

Вопросы:

  1. Запишите формулу приведенного квадратного уравнения.
  2. Чему равен дискриминант приведенного квадратного уравнения?
  3. Сформулируйте теорему Виета для приведенного квадратного уравнения.
  4. Сформулируйте теорему Виета для квадратного уравнения общего вида.
  5. Сформулируйте обратную теорему Виета.

5. Этап IV. «Биквадратные уравнения» 

Биквадратное уравнение: ax4 + bx2 + c = 0

Алгоритм решения

1.

Сделать замену переменной:

x2 = t

2.

Получится:

at2 + bt + c = 0

3.

Найти корни квадратного уравнения:

t1,2 =

4.

Обратная подстановка:

5.

Если tk < 0
Если tk > 0
Если tk = 0

Корней нет
x =
x = 0

Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений.

Вопросы:

  1. Покажите общий вид биквадратного уравнения.
  2. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения.
  3. сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

6. Подведение итогов

По ходу урока за правильный ответ каждый ученик получает жетон для своей команды, чтобы уложиться во время, необходимо задания распределять для каждого участника команды (1 балл – 1 жетон). Решение практических заданий учитель оценивает в баллах. По окончании урока общие баллы суммируются, и на этом основании выделяется лучшая команда, а в каждой команде лучший ученик. По количеству жетонов каждый ученик получает оценку.

Задания с ответами для каждого из этапов урока № 1 см. Приложение 1.

Уроки №2–22 см. Приложение 2.