Цели:
- определить степень усвоения основных понятий и аксиом стереометрии;
- определить компетентность учащихся при решении стандартных задач логического характера;
- определить компетентность в вопросе параллельности прямых и плоскостей в пространстве;
- определить компетентность в проведении логических рассуждений и выводов.
Основные вопросы рассматриваемые на уроке:
- Что изучает стереометрия?
- Аксиомы стереометрии.
- Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
- Параллельность прямых в пространстве.
Ход урока
1 этап: Параллельность прямых в пространстве.
Покажите на модели куба параллельные прямые.
Математическая компетентность
- имеет развитые пространственные представления, понимает и умеет изображать чертежи, рисунки;
- владеет геометрическим языком, развитыми пространственными представлениями и изобразительными умениями для описания предметов окружающего мира.
Общекультурная компетентность
- умеет уместно использовать математическую символику и объяснять значение математических терминов и символов.
Задача: Докажите, что через вершину куба М можно провести прямую, параллельную прямой АС и только одну.
Социально-личностная компетентность
- владеет стилем мышления, характерным для математики, его абстрактностью, доказательностью, строгостью;
- умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически – обоснованные выводы.
- умеет проводить обобщения,
- умеет ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи.
Общекультурная компетентность
- умеет уместно использовать математическую символику и объяснять значение математических терминов и символов.
2 этап: Признаки параллельности прямых.
Докажите признаки параллельности прямых.
Математическая компетентность
- имеет развитые пространственные представления, понимает и умеет изображать чертежи, рисунки.
Общекультурная компетентность
- умеет уместно использовать математическую символику.
Социально-личностная компетентность
- умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически – обоснованные выводы.
Предметно-мировоззренческая компетентность
- понимает, что законы логики математических рассуждений имеют универсальный характер.
Задача: Из точек А и В плоскости проведены вне её параллельные между собой отрезки АС = 8см и ВД = 6см. Прямая, проведённая через С и Д, пересекает плоскость в точке Е (почему?). Отрезок АВ = 4см. Определите расстояние ВЕ.
3 этап: Параллельность прямой и плоскости.
Сформулируйте определение и докажите признак параллельности прямой и плоскости.
Задачи: (по готовому чертежу).
а) Через данную точку проведите прямую, параллельную данной плоскости.
б) Через данную точку проведите плоскость, параллельную данной прямой.
в) Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку, взятую на плоскости, провести в этой же плоскости прямую, параллельную данной.
Задача: Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки Р, М и Т, если Т Є (АВС), М Є (АСД), Р Є ДС.
Математическая (прагматическая) компетентность
- умеет изображать чертежи;
- владеет геометрическим языком, развитыми пространственными представлениями;
Социально-личностная компетентность
- владеет стилем мышления, характерным для математики, его абстрактностью, доказательностью;
- умеет проводить аргументированные рассуждения, делать логически – обоснованные выводы;
- умеет проводить обобщения.
Общекультурная компетентность
- умеет уместно использовать математическую символику;
- понимает, что законы логики математических рассуждений имеют универсальный характер.
Решение:
- Пусть а секущая плоскость. Точки Р и М принадлежат как плоскости (АСД), так и секущей плоскости а. Значит, плоскость а пересекает (АСД) по прямой РМ.
- Прямая РМ пересекает ребро АС в некоторой точке N.. Тогда пересечением секущей плоскости а и грани (АСД) является отрезок РN.
- В плоскости(АВС) лежат точки N и Т, принадлежащие секущей плоскости а. Значит плоскости а и (АВС) пересекаются по прямой NТ.
- Прямая NТ пересекает ребро АВ в некоторой точке Е.Тогда пересечением секущей плоскости и грани(АВС) является отрезок NЕ.
- Плоскость а имеет с (АВД) общую точку Е, значит эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Но чтобы провести эту прямую, надо найти ещё одну общую точку плоскостей а и (АДВ).
Прямая NР пересекает прямую АД в некоторой точке К, которая будет общей точкой плоскости а и плоскости (АДВ) (она лежит на прямой АД, лежащей в этой плоскости). Таким образом, у нас имеются две общие точки К и Е. Значит, плоскость а пересекает (АВД) по прямой ЕК. - Прямая ЕК пересекает ребро ВД в некоторой точке О. Если имеем точку О на ребре ВД, то тогда пересечением плоскости а и грани (АВД) является отрезок ЕО.
- В (ВДС) получили две точки О и Р, принадлежащие плоскости а. Значит плоскость а пересекает плоскость (ВДС) по прямой ОР. А пересечением плоскости а и грани (ВДС) является отрезок ОР.
- Четырёхугольник ЕОРN – искомое сечение.