Цели урока:
- Обучающая – расширение представлений о системах счисления и обобщение принципа позиционности;
- Развивающая – развивать умение выделять главное; развивать мышление учащихся посредством анализа, сравнения и обобщения изучаемого материала; самостоятельность; развитие речи, эмоций, логического мышления учащихся.
- Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, деловые качества учащихся; активизация познавательной и творческой активности учащихся.
Наиболее выраженные на этом уроке компетенции:
- Ключевая компетенция: учебно-познавательная.
Умение осуществлять анализ, рефлексию, самооценку своей деятельности; умение выдвигать гипотезы, ставить вопросы к наблюдаемым фактам.
- Ключевая компетенция: информационная.
Анализ информации с целью выделения общих черт, закономерностей.
- Ключевая компетенция: коммуникативная.
Участие в общем обсуждении, умение аргументировать свою точку зрения, выслушивать собеседника; понимание факта многообразия языков (в том числе – формальных языков).
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний учащихся по теме «Системы счисления» - выполнение теста. (Приложение 1)
3. Объяснение нового материала
В рассмотренных ранее системах счисления «вес» единицы любого разряда, кроме первого, всегда равнялся «весу» единицы предшествующего разряда, умноженному на постоянное основание системы Р. Можно, однако, привести пример такой системы счисления, в которой смысл понятия «основание системы счисления» заметно отличается от традиционного. Предлагаемая система является следствием расширения нашего представления о роли основания системы счисления. Сущность нового подхода легко представить, если рассмотреть счеты необычной конструкции (см. рисунок). Такие счеты приведены в книге В. Н. Касаткина «Новое о системах счисления».
На нижней проволоке счет, отведенной для единиц младшего разряда, вес каждой из которых равен единице, помещено две косточки. На следующей проволоке помещено три косточки, на третьей — четыре и т. д., на n-ой проволоке — n+1 косточка. Так как каждая косточка на второй проволоке заменяет две косточки, расположенные на первой проволоке, то вес ее равен 2. Каждая косточка третьей проволоки заменяет три косточки второй проволоки и, следовательно, ее вес в 6 = 3*2*1 раз больше веса косточки на первой проволоке. Из этих разъяснений следует, что косточка, расположенная на n-ой проволоке, имеет вес n!. Вес единиц от разряда к разряду растет, но неравномерно. Это приводит к представлению числа в следующем виде: 
Получаем, что N-разрядное число, «списанное со счет», оказывается представленным не в виде суммы степеней основания Р, а является суммой факториалов nпервых натуральных чисел.
Пример. 3221f = 3*4! + 2*3! + 2*2! + 1*1! = 89;
40301f = 4*5! + 3*3! + 1*1! = 499.
Эту систему счисления относят к нетрадиционным позиционным и называют факториальной системой счисления.
Алгоритм перевода из десятичной системы счисления в факториальную очень прост. Он аналогичен алгоритму перевода из десятичной системы в Р-ичную путем деления на основание системы Р. Отличие в том, что в первый раз исходное десятичное число делим на 2, первое частное — на 3, второе частное — на 4 и так далее.
| Особенностью факториальной системы счисления является то, что количество цифр, используемых в том или ином разряде (так называемая размерность алфавита), неодинаково – оно увеличивается с ростом номера разряда. В первом разряде могут быть только цифры 0 и 1, во втором – 0,1 и 2, в k-ом – 0,1,2,…,k и т.д. Следовательно, если запись числа в факториальной системе имеет вид  , то этому числу соответствует десятичное значение, равное , где  -цифра числа  . |
К нетрадиционным системам счисления относят и фибоначчиеву систему счисления.
Базисом фибоначчиевой системы является последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., т. е. идущие подряд числа Фибоначчи. (Каким образом получена данная последовательность чисел? Дать возможность учащимся определить принцип нахождения чисел Фибоначчи - каждое число, записанное в фибоначчиевой системе счисления, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих, т.е. аn=an-1+ an-2)
Алфавитомэтой системы счисления являются цифры 0 и 1. В записи числа в фибоначчиевой системе не могут стоять две единицы подряд.
Пример. Покажем, как записывать числа в фибоначчиевой системе счисления:
37 = 34 + 3 = 1*34+0*21+0*13+0*8+0*5+1*3+0*2+0*1= 10000100Fib;
25 = 21 + 3 + 1 = = 1*21+0*13+0*8+0*5+1*3+0*2+1*1=100101Fib.
4. Решение задач
Задание 1
Какие из чисел записаны не по правилам факториальной системы счисления: 42220, 44000, 86633300, 8663320?
Решение:
Число 8663320 записано не по правилам факториальной системы счисления.
Распишем это число по разрядам:
Разряд |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Цифра |
8 |
6 |
6 |
3 |
3 |
2 |
0 |
В седьмом разряде могут быть цифры – 0,1,2,3,4,5,6,7!
Числа 42220, 44000, 86633300 записаны по правилам факториальной системы счисления.
Задание 2
Определите десятичный эквивалент чисел, записанных
а) в факториальной системе: 502101, 4422310;
б) в фибоначчиевой системе: 10010101, 101010101.
Решение:
а) факториальная система:
502101f=
5*720+2*24+1*6+1=365510
4422310f=
4*5040+4*720+2*120+2*24+3*6+1*2+0*1 = =2334810
б) фибоначчиевая система:
10010101Fib=1*34+0*21+0*13+1*8+0*5+1*3+0*2+1*1=4610
101010101Fib=1*55+1*21+0*13+1*8+0*5+1*3+0*2+1*1=8810
Задание 3
Запишите десятичные числа 34502 и 45087012 в факториальной системе счисления.
Решение:
Таким образом, 3450210=6552210f
Таким образом, 4508701210=11421550200f
Задание 4
Запишите десятичные числа 30, 125 и 1949 в фибоначчиевой системе счисления.
Решение:
3010=1*21+9=1*21+0*13+1*8+0*5+0*3+0*2+1*1=1010001Fib
12510=1*89+0*55+1*34+0*21+0*13+0*8+0*5+0*3+1*2+0*1=1010000010Fib
194910=1*1597+0*987+0*610+0*377+1*233+0*144+1*89+0*55+0*34+1*21+0*13+1*8+0*5+0*3+0*2+1*1=1000101001010001Fib
5. Рефлексия (Приложение 2):
- Каковы мои результаты, что я понял?
- Какие задания вызвали трудности, как ты справлялся с ними?
- Если бы тебе сейчас предложили повторить урок, что бы ты изменил в плане своей деятельности?
- Самооценка за урок:
Литература:
- Андреева Е., Фалина И. Системы счисления и компьютерная арифметика. Учебное пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,2004
- Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И. Н. Математические основы информатики. Элективный курс. Учебное пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,2005
- Ярцева О.В. Нетрадиционные системы счисления./Информатика, №19/2008