Древние греки строили математику с помощью геометрических величин. Ими была создана геометрическая алгебра. Античные математики решали алгебраические уравнения с помощью геометрических построений. Её основными объектами были отрезки, прямоугольники, параллелепипеды.
Сложения отрезков производили путем приставления одного к другому.
Вычитали всегда из большего отрезка меньший.
Произведением двух отрезков назывался построенный на них прямоугольник.
Произведением трех отрезков аbс, называется прямоугольный параллелепипед с ребрами а, b, с.
Произведение большего числа сомножителей в геометрической алгебре рассматриваться не могло.
Геометрическая алгебра изложена во второй книге "начал" Евклида. Её преимущество в том, что тождества верны для отрезков любой длины. Однако древние математики понимали необходимость так формулировать условия задач геометрической алгебры, чтобы они заведомо имели положительные решения. Поэтому на условия задачи они в необходимых случаях накладывали ограничения - диоризмы. Это обстоятельство выявляло ограниченность области применения методов геометрической алгебры.
Рассмотрим вывод некоторых формул сокращенного умножения.
1. Пусть а и b положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b, площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b)2. Но этот квадрат состоит из чётырёх частей: квадрат со стороной а (его площадь равна а2), со стороной b (его площадь равна b2), и два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна а · b).
Значит (а + b)2=а2 + b2 + 2аb. (Приложение 1).
2. Пусть а и b положительные числа и а >b .Рассмотрим квадрат со стороной а - b. Площадь его равна (а - b)2. Иначе его площадь можно найти так: из площади квадрата со стороной а (его площадь равна а2), вычтем площадь двух прямоугольников со сторонами а и b (площадь каждого прямоугольника равна аb). Поскольку площадь квадрата со стороной b вычитается два раза (она находится в площади каждого прямоугольника), то надо прибавить одну площадь b2.
Таким образом получим (а - b)2 = a2 + b2 - 2аb. (Приложение 2).
Пусть а и b положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами (а + b) и (а - b). Его площадь равна (а + b)(а - b). Прямоугольник ABCD равен прямоугольнику KDPN (стороны одного и другого прямоугольника равны а - b и b). Значит и площади их равны. Следовательно, если из площади квадрата со стороной а (она равна а2), отнять площадь квадрата со стороной b (она равна b2), то получится площадь, равная площади прямоугольника со сторонами (а - b)(а + b), то получим (а - b)(а + b) = а 2 - b2. (Приложение 3).
3. Пусть а, b, с - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b + с. Его площадь равна (а + b + с)2.С другой стороны этот квадрат состоит из нескольких прямоугольников и квадратов. Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей, то (а + b + с)2= а 2+ b2 + с2 + 2аb + 2ас + 2bс. (Приложение 4).
Предложенным способом можно доказать некоторые тождества:
1. Доказать, что а2 + b2 + с2 = (а + b + с)2 - 2(аb + ас + bс),где а, b, с - положительные числа.
Рассмотрим квадрат со стороной а + b + с. Его площадь равна (а + b + с)2. Вычитая площади двух прямоугольников со сторонами b и с, двух прямоугольников со сторонами а и с, двух прямоугольников со сторонами а и b, получим а2 + b2 + с2, что и требовалось доказать. (Приложение 5).
2. Доказать, что (а + b)2 - (а - b)2 = 4аb, где а и b- положительные числа и а > b.
Рассмотрим квадрат со стороной а + b. Его площадь равна (а + b)2.Внутренний квадрат со стороной а - b. Его площадь равна (а - b)2 .Вычтя из площади большого квадрата площадь малого квадрата, получим сумму площадей четырех прямоугольников. Они равны (стороны каждого прямоугольника равны а и b). Площадь каждого из них равна.
Таким образом, (а + b)2 - (а - b)2 = 4аb. (Приложение 6).
3. Доказать, что (а + b)2 + (а - b)2 = 2(а2 + b2), где а и b - положительные числа и а > b.
Площадь большого квадрата со стороной а + b равна (а+b)2. Площадь малого квадрата со стороной а - b равна (а - b)2. Прибавим площадь большого квадрата и площадь малого квадрата получим (а + b)2 + (а - b)2. А прибавив площадь квадрата со стороной а и площадь второго квадрата со стороной а, а также площади двух квадратов со стороной b, получим равенство площадей (а + b)2 + (а - b)2 = 2(а2 + b2), что и требовалось доказать. (Приложение 7).
4. Доказать, что (x + y)2 - 2(x + y) (x - y) + (x - y)2 = 4y2, где x > у.
Рассмотрим квадрат со стороной х + у. Его площадь равна (x + y)2. Вычтем из площади этого квадрата площади двух прямоугольников со сторонами (x + y) и (x - y), поскольку два раза вычитали площадь квадрата со стороной (х - у), то прибавим (х - у)2. Таким образом, после этих преобразований остались площади четырех квадратов со стороной у.
Следовательно, (x + y)2 - 2(x + y) (x - y) + (x - y)2 = 4y2 , что и требовалось доказать. (Приложение 8).