Обобщенный метод интервалов для решения неравенств

Цели и задачи урока:

• Обобщить метод интервалов для решения строгих и нестрогих рациональных неравенств.
• Обеспечить закрепление алгоритма обобщенного метода интервалов.
• Способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.

Оборудование урока:

1. Раздаточный материал "Некоторые утверждения равносильности неравенств".
2. Карточки с заданиями «Тест "Обобщенный метод интервалов"»

Ход урока:

Некоторые утверждения равносильности неравенств

Строгие рациональные неравенства.

Неравенство R(x) > Q(x) (или R(x) < Q(x)), в котором R(x) и Q(x) -многочлены относительно одного неизвестного х, называют алгебраическим неравенством с одним неизвестным х.

Каждое алгебраическое неравенство с одним неизвестным х, используя утверждения равносильности (1 и 4), можно привести к виду Р(х)>0 (или Р(х) <0), где Р(х) — многочлен относительно х.

Поэтому достаточно рассмотреть лишь неравенства вида

Р(х) > 0 ( или Р(х)<0), (1)

где Р(х) = а₀хⁿ + а₁х^n-1+...+а_п-1х + а_п (а ₀≠ 0)

Всякое такое неравенство называют алгебраическим неравенством степени п.

Рассмотрим решение некоторых алгебраических неравенств.

Обобщенный метод интервалов. 

Некоторые алгебраические неравенства степеней более высоких, чем вторая, цепочкой равносильных переходов приводятся к виду

(или ), (2)

где k_lt k₂, ..., k_n-1,k_n — фиксированные натуральные числа,

х₁, х₂, … х_n-1,x_n—фиксированные действительные числа, среди которых нет равных, и такие, что х₁<х₂< … <х_n-1<x_n . Тогда неравенства вида (2) решаются так называемым обобщенным методом интервалов.

Рассмотрим многочлен Р(х)= (3)

Очевидно, что для любого числа y_о, такого, что y_о> х_n, соответствующее значение любого сомножителя в произведении (3) положительно, поэтому числовое значение Р(y_о) многочлена Р(х) также положительно.

Для любого числа y₁, взятого из промежутка (x_n-1,x_n) , соответствующее числовое значение любого сомножителя, кроме последнего, положительно; соответствующее числовое значение последнего сомножителя положительно, если k_n - четное число, и отрицательно, если k_n - нечетное число. Поэтому число Р(y₁) - положительно, если k_n -четное число, и число Р(y₁) - отрицательно, если k_n - нечетное число. Обычно в этих случаях говорят, что многочлен Р(х) при переходе через точку x_n меняет знак, если k_n - нечетное число, и не меняет знака, если k_n - четное число.

Аналогично показывается, что если известен знак многочлена Р(х) на промежутке (x_i,x_i+1), тона промежутке (х_i-1,x_i), знак определяется по правилу: многочлен Р(х) при переходе через точку x_i меняет знак, если k_t -нечетное число, и не меняет знака, если k_t -четное число. На этом рассуждении и основан обобщенный метод интервалов.

Алгоритм обобщенного метода интервалов

- на числовую ось наносятся числа х₁, х₂, … х_n-1,x_n ;

- в промежутке справа от наибольшего из этих чисел, т. е. справа от х_n, ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак плюс, если k_n - четное число, и знак минус, если k_n- нечетное число;

- в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак, пользуясь правилом: многочлен Р(х) при переходе через точку х_n-1 , меняет знак, если k_n-1 - нечетное число, и не меняет знака, если k_n-l — четное число;

- затем рассматривается следующий за ним справа налево промежуток, в нем ставят знак, пользуясь тем же правилом;

- таким образом рассматриваются все промежутки.

- решением неравенства (2) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс (или минус).

Решение неравенства  (4)

в случае, если Р(x), R(x) и M(x) будут многочленами, можно провести так.

Неравенство (4) надо сначала переписать в равносильном виде

, (4.1)

Затем, воспользовавшись одним из утверждений равносильности неравенств, умножить неравенство (4.1) на R2(х) и записать неравенство

,), (5)

равносильное неравенству (4.1) на его ОДЗ. Наконец, неравенство (5) решить методом интервалов. Множество всех решений неравенства (5) и будет множеством всех решений неравенства (4).

Пример. Решить неравенство

 (6)

Прежде всего, умножая это неравенство на , получим равносильное ему неравенство . (7)

Для решения этого неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой

оси отметим числа (-5), , , 7.

Справа от наибольшего числа, т. е. от числа 7, ставим знак плюс. При переходе через точку (7) многочлен  меняет знак, так как двучлен (х-7) содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке ставим знак минус. При переходе через точку  многочлен Р(х) меняет знак, так как двучлен  содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке  ставим знак плюс. При переходе через точку  многочлен Р(х) неменяет знака, так как двучлен  содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке  ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку (-5) многочлен Р(х) меняет знак, так как двучлен содержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке  ставим знак минус. Итак, решение неравенства (7) и равносильного ему неравенства (6) - совокупность всех промежутков, где поставлен знак плюс, т. е. множество всех решений неравенства есть множество .

Нестрогие неравенства. 

Перейдем теперь к решению нестрогих неравенств

Р(х)0,(или Р(х)0). (8)

Если некоторое число y0 есть решение неравенства (8), то справедливо числовое неравенство Р(y0)0 (Р(y0)0). Тогда в силу определения нестрогого знака неравенства справедливо или числовое равенство Р(y0)=0 или числовое неравенство Р(y0)>0 (Р(y0)<0). Другими словами, если число y0 - решение неравенства (8), то оно - либо решение уравнения Р(х) = 0, либо - неравенства Р(х)>0 (Р(y0)<0). Такое рассуждение можно провести для любого решения неравенства Р(х)0. Аналогично показывается, что любое решение неравенства Р(х)>0 и любое решение уравнения Р(х)=0 также есть решение неравенства (8).

Таким образом, множество решений нестрогого неравенства (8) является объединением двух множеств: множества всех решений строгого неравенства Р(x)>0 (Р(x)<0) и множества всех решений уравнения Р(х)=0.

На этом и основано правило решения нестрогих неравенств. Сначала решаются соответствующее строгое неравенство и соответствующее уравнение, а затем множества решений строгого неравенства и уравнения объединяются; объединение этих множеств и является множеством всех решений нестрогого неравенства.

Пример. Решить неравенство

 (9)

Поскольку справедливы следующие тождественные равенства

то согласно утверждениям (4 и 3б) равносильности неравенство (9) равносильно неравенству  (10)

Решим сначала уравнение

 (11)

Оно имеет только пять корней: x₁=-2, x₂=0, x₃=1, x₄=2, x₅=3.

Затем решаем обобщенным методом интервалов строгое неравенство

 (12)

Множеством всех его решений будет множество . Объединяя множество решений уравнения (11) и строгого неравенства (12), получим множество всех решений неравенства (10), а в силу равносильного перехода - неравенства (9).

Итак, множество всех решений неравенства (9) есть множество .

Нестрогие неравенства

 (13)

в случае, если Р(x), R(x) и M(x) будут многочленами, можно решить так.

Неравенство (13) надо сначала переписать в равносильном виде

, (14)

Затем, умножить неравенство (14) на R²(x) и записать систему

 или  (15) равносильную неравенству (13) на его ОДЗ. Затем решить систему, используя обобщенный метод интервалов. Множество всех решений системы (15) и будет множеством всех решений неравенств (13).

Тест.