Урок математики в 8-м классе по теме "Теорема Виета"

Разделы: Математика

Цель:

  • Формирование умений и навыков при решении квадратных уравнений.
  • Развитие у учащихся теоретического, творческого мышления.
  • Научить учащихся применять теорему Виета и ей обратную при решении квадратных уравнений.

Задачи.

  • Показать учащимся образцы трудолюбия, упорства, настойчивости в работе, рассказать детям как из трудовой деятельности человека возникли главнейшие понятия и основные разделы математики, как они развивались и совершенствовались.
  • Закрепить умения и навыки в решении квадратных уравнений, применяя изученный материал урока.
  • Продолжать знакомить учащихся с историческими сведениями и фактами из жизни математиков, экскурсом в историческое прошлое дать разрядку умственному напряжению, способствовать лучшему усвоению науки, возбуждению интереса к ней, увлеченности математикой.

Оформление кабинета:

  • Портрет Франсуа Виета, украшенный цветами.
  • На доске красочно оформленные газета "Франсуа Виет и его теорема".
  • Оформлено стихотворение, посвященное знаменитой теореме Виета.
  • Таблица с формулами.
  • Образцы решения.
  • Оформлена выставка книг, посвященная Франсуа Виету.

Ход урока

I.. Устно:

  1. Вспомнить квадратное уравнение в общем виде.
  2. Какое уравнение называется приведённым?
  3. Назвать формулу для нахождения корней квадратного уравнения вида ах2+bх+с=0.
  4. Назвать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: ах2+2кх+с=0.
  5. Как влияет дискриминант на количество корней?

II. Три ученика выполняют задание на доске по карточкам: (одновременно с устной работой)

Решить уравнение

а) х2-7х+10 = 0
б) х2+5х-6 = 0
в) х2+х-90 = 0		 х1=2; х2=5
x1=-6; х2=1
х1=-10; х2=9

Ученикам по рядам соответственно предлагается решить одно уравнение из трех предложенных, проверить решение на доске.

Задание классу: найти сумму корней, произведение корней.

Учащиеся замечают, что:

х1+ х2=-b/a или -p

х1 х2=c/a или q.

На доске висит таблица

Рис. 1

Эту закономерность заметил знаменитый французский математик Франсуа Виет (1540–1603 г.). Теорема названа в честь математика.

III. Объявляется тема урока: Теорема Виста.

(доказывается учителем)

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

x2 + рх + q = 0

Пусть D > 0, тогда D = р2 – 4q

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4.

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема (запись оформлена заранее).

Доказательство проходит путём собеседования с учащимися.

Если числа т и п таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то числа т и п будут являться корнями уравнения.

Дано:

т + п = -р
тп = q.

Доказать, что: m и n корни уравнения x2+р x+q=0.

Доказательство:

Так как т + п = -р и т п = q, то х2- (т+п)х + т п=0
х-mх-пх + тп = 0
х(х-т) – п(х-т) = 0
(х-т) (х-п) = 0
х-т = 0 или х-п =0
х = т х = п

получили, что тип корни данного уравнения, что и требовалось доказать.

IV. Применение теоремы Виета и обратной теоремы.

Учащимся предлагается ответить на вопрос: "Где применяется теорема Виета и обратная ей теорема."

На уроке подчёркивается: так как теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, то теорема Виета даёт возможность по формулам находить корни данного уравнения и проверить верность нахождения корней.

Для закрепления предлагаются задания из учебника.

Даётся образец решения (запись оформлена заранее).

Образец решения:

№ 1.

3х2- 5х + 2=0

D = b2 – 4ac; D = 25 – 24 = 1, 1>0

Рис. 5

Ответ: 2/3; 1.

№ 2.

3х2- 4х – 4 = 0

Рис. 6

Или 3х2- 2*2х – 4 = 0

Рис. 7

Рис. 8

Ответ: -2/3; 2.

V. Экскурсия в историческое прошлое.

1. Вывешена красочно оформленная газета, посвященная теореме Виета (Приложение 1):

Теорема Виета выражает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями.

Была им сформулирована впервые в 1591 году следующим образом: (предлагается вниманию учащихся).

“Если B+D, умноженное на А минус А2, равно BD, то А равно В и равно D.”

А – как гласная буква, означала неизвестное (наше х),
В и D – согласные, коэффициенты при неизвестном.

На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

“если имеет место (a+b)x-x2 = ab
x2 -(a+b)x+ab=0, то: x1=а; x2=b”.

2. Для закрепления теоремы Виета предлагается стихотворение "теорема Виета". Читает один из учеников.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а;
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе b, в знаменателе а.

ах2 + bх + с = 0,

Рис. 9

х1 и х2 – корни уравнений.

3. Исторические сведения о Франсуа Виете (1540-1603).

Родился в 1540 году во Франции в Фонтене-ле-Конт. По профессии адвокат. В свободное время Виет занимается астрономией. Изучив ещё в молодости Коперникову систему мира, заинтересовался астрономией. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занимался ими и вскоре пришёл к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию, над чем и проработал ряд лет.

Виет, не прекращая адвокатской деятельности, много лет был советником короля Георга III и Георга IV, постоянно был занят государственной службой. Несмотря, на это, всю жизнь занимался математикой, занимался настойчиво, упорно, сумел добиться выдающихся результатов. Основные свои идеи изложил в труде “Введение в аналитическое искусство”.

Мы знаем, как легко решать квадратные уравнения. Для них существуют готовые формулы. До Франсуа Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. На овладение приёмами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, не было, тем более формул решения уравнения. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. В 1591 году Виет ввёл буквенные обозначения и для неизвестных и для коэффициентов уравнения. Ввел формулы. После открытия Виета стало возможным записывать правила в виде формул.

4. И другие достижения Франсуа Виета.

ввел термин “коэффициент” и применил прописные буквы гласные и согласные;

очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнения I степени до IV
степени;

ввел сокращения для I степени, II, III, IV:

N – число I степени,
Q – число II степени,
С – число III степени,
QQ – число IV степени.

Например, 1С – 8Q + 16N aequatur 40, что означает в современной записи: х3 – 8х2 + 16х = 40.

5. Интересные факты из жизни Франсуа Виета. (выступление учащихся с сообщениями)

1 выступление.

Всесильная католическая церковь преследовала и убивала всякую передовую мысль. Церковный суд – инквизиция – всех попавших под подозрение, карал вплоть до сожжения на костре. Не один ученый погиб в руках инквизиторов.

Как-то испанский математик Вальмес (1486 г) в кругу своих друзей обмолвился, что нашёл формулу для решения уравнений 4 степени. В числе гостей оказался инквизитор. Он услышал слова Вальмеса и заявил, что волей божьей решать эти уравнения человеку не дано и найти формулу можно только с помощью дьявола.

В ту же ночь Вальмес был брошен в тюрьму, а через 3 недели сожжен на костре. Только через 100 лет формула была найдена вторично.

Жизнь Виета тоже висела на волоске, но в то время Испания вела с Францией победоносную войну. Французам удалось перехватить приказы испанского правительства написанные очень сложным шрифтом. Виет с помощью математики сумел найти ключ к этому шифру и французы неоднократно им пользовались.

Инквизиторы обвинили Виета в том, что в него вселился дьявол, но т.к. французы побеждали, Виета не выдали инквизиции.

В родном городке Виет был лучшим адвокатом, но главным делом его жизни была математика. Однажды голландский ученый Адриан Ромен обратился ко всем математикам мира с предложением найти корень сложного уравнения 45-степени, коэффициенты которого были 9-значные числа. Каково же было его удивление, когда Виет указал не один, а 23 корня уравнения. Ромен специально приехал во Францию, чтобы познакомиться с Виетом.

2 выступление.

– работал с десятичными дробями;
– ввел фигурные скобки;
– первый начал решать числовые уравнения приближенным путём, т.е. получал приближенные корни;
– в 16–18 в выделяются образованием несколько женщин, учителями которых были Декарт, Эйлер и Виет;
– пользовался термином "радиус";
– работал в области тригонометрии с Кеплером, Коперником;
– дал словесное описание теоремы косинусов в XVI в.;
– дал первое в Европе аналитическое представление числам .

Много достижений было у Виета. Сам он больше дорожил установленной зависимостью между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, т.е. той зависимостью, которая теперь называется "теоремой Виета".

Франсуа Виет отличается необыкновенной работоспособностью. Много занятый при дворе французского короля, он находил время для математических работ. Чаще всего за счёт своего отдыха. Отличают его большую работоспособность. Иногда, увлёкшись какими-нибудь исследованиями, он проводил за письменным столом по трое суток подряд.

Примечание: можно о газете рассказать и прочитать стихотворение после сообщения учащихся о достижениях Виета и в качестве закрепления выполнить задания по учебнику, затем продолжить урок по плану.

VI. Практическая работа (по карточкам).

Карточка-кодограмма на каждого ученика (см. Приложение 2).

В каждой карточке закодировано слово. Путём верного нахождения корней квадратного уравнения, с помощью теоремы Виета, учащиеся определяют закодированное имя математика.

В конце урока учащиеся дают короткую справку об этих математиках.

VII. Итог урока