Тема: «Удивительный мир сечений».
Цели:
- Научить учащихся решать стереометрические задачи на построение сечений многогранников.
- Формирование у учащихся потребности применения исследовательских методов, умений и навыков построения сечений.
- Формирование навыков культуры чертежа у учащихся.
Структура урока:
Вид деятельности |
Время, мин |
1. Постановка цели урока |
2 |
2. Объяснение нового материала |
10 |
3. Закрепление материала при решении задач |
20 |
4. Задания творческого характера |
11 |
5. Подведение итогов урока |
2 |
Ход урока
Урок сопровождается презентацией. (Приложение)
I. Организационная часть
Слайд 1.
II. Постановка целей урока
Слайд 2.
Сечения многогранников плоскостей используют при решении многих стереометрических задач. Поэтому мы рассмотрим различные способы построения сечений. Повторим основные геометрические понятия. (плоскость – грань, прямая – ребро многогранника, точка – вершина многогранника).
Слайд 3.
С какими многогранниками вы уже знакомы? (тетраэдр, параллелепипед, куб).
Слайд 4.
Прочитайте основные геометрические утверждения, которые помогут при построении сечений многогранников:
1. Если две точки одной прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Слайд 5.
2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, линии их пересечения параллельны.
Слайд 6.
Рассмотрим способ построения сечения тетраэдра ABCD, проходящего через точки Р, М и N на боковых ребрах АВ, АС и АD. Точки Р и М лежат на грани АСВ, значит, и прямая РМ лежит в плоскости этой грани. А точки M и N лежат на грани АСD, следовательно, прямая МN лежит в плоскости этой грани. Аналогично, точки Р и N лежат на грани АВD, значит, и прямая РN лежит в плоскости этой грани. Итак, ∆РМN – искомое сечение.
Слайд 7, 8.
Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М и Р, лежащих на ребрах АА′ и DD′, и точку Х, на грани ВВ′С′С. Плоскость сечения пересекает боковые параллельные грани, следовательно, прямая МР и прямая, проходящая через точку Х, параллельны. Проведем прямую, через точку Х. Она пересекает боковые ребра в точках М′ и Р′. Точки М и М′ лежат на грани АВВ′А′, следовательно, и прямая ММ′ лежит в плоскости этой грани. Аналогично, точки Р и Р′ лежат на грани DCC′D′, значит, и прямая РР′ лежит в плоскости этой грани. Параллелограмм ММ′Р′Р – искомое сечение.
Слайд 9, 10.
В рассмотренных до сих пор примерах для того, чтобы найти сечение многогранника, выполнялись построения в плоскостях граней этого многогранника. В некоторых случаях для нахождения сечения приходится ряд построений проводить вне плоскостей граней. Построим сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки M, N и P на ребрах AD, DC и ВС соответственно. Точки М и N заданы так, что прямые МN и АС не параллельны. Точки М и N лежат на грани АСD, значит, и прямая МN лежит в плоскости этой грани. Поэтому отрезки MN и NP являются сторонами сечения. Точка Р – общая для плоскостей МNР и АВС. Найдем вторую общую точку этих плоскостей. Прямые MN и АС лежат в плоскости грани АDС, следовательно, точка их пересечения S также лежит в этой плоскости. Но так как прямая АС принадлежит еще и плоскости АВС, то точка S и в этой плоскости. Значит, S – вторая общая точка плоскостей МNР и АВС. Прямая SP – линия пересечения плоскостей МNР и АВС. Пересечение этой прямой с ребром АВ дает четвертую вершину Q нашего сечения. Итак, четырехугольник MNPQ – искомое сечение.
Слайд 11, 12.
А сейчас задания творческого характера.
1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки, лежащие как на ребре, так и на гранях многогранника.
Слайд 13, 14.
2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через данные точки на ребрах многогранника.
Слайд 15, 16.
3. Представьте ситуацию:
Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников».
Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте и запишите пошаговую инструкцию.
III. Итоги урока