Мы все знакомы с основными арифметическими действиями: сложением, вычитанием, умножением и делением. Пятым арифметическим действием является возведение в степень.
См. Приложение 1
Возведение в степень имеет два обратных действия: если ab = c, то разыскание а есть одно обратное действие -извлечение корня; нахождение же b другое, логарифмирование
Логарифмы появились в ХVI в. под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Так зачем изучают логарифмы сегодня?
Изобретение логарифмов в XVII в. тесно связано с развитием в XVI веке производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны быть результаты действий. Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления.
Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий возведения в степень и извлечения корня к более простым действиям - умножению и делению, а последних к - самым простым – сложению и вычитанию. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, – резко повысившее производительность труда вычислителей.
Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету Непера английским математиком Г. Бриггсом (1561–1630). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы
Определение.
Логарифмом числа b по основанию а (где a > 0, a 1) называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b.
Логарифм числа b по основанию а обозначается символом loga b.
1оga b = c
Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления.
При составлении модели того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.
Логарифмическую спираль можно увидеть на рис.1. Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая. Так почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?
Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой (рис.2 )
 |
 |
| Рис. 1 | Рис. 2 |
Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов закручены по логарифмической спирали эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста.
Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе (рис.4.) семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. И однажды, 18 декабря 1955г. Он вынес его на повестку своего публичного выступления, которое проходило в Париже, в главной аудитории Сорбонны. Сальвадор Дали рассказал о том, что происходило в Сорбонне, в своем дневнике, из которого я привожу небольшие отрывки.
“…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском кабинете” “Уже много лет спустя я попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Потом я попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной моей копии… Я объяснил, что, пока не написал копию, в сущности, почти ничего не понимал в “Кружевнице”, и мне понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые Логарифмическая спираль знаменита и своими удивительными свойствами:
Логарифмическая спираль – это замечательная кривая, имеющая очень много интересных свойств, но примеры логарифмической функции в природе на этом не ограничиваются. Известно, что астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Оказывается, что оба эти явления – следствие общего психофизического закона согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Логарифмы вторгаются и в область психологии.
Теперь рассмотрим еще один интереснейший пример о связи логарифмов и музыки.
Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит “бел”, практически – его десятая доля, “децибел”. Дело станет яснее, если рассмотрим несколько примеров.
Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое – следствие общего закона гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим , логарифмы вторгаются и в область психологии.
Звезды, шум и логарифмы.
Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.
Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. “величина” звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит “бел”, практически – его десятая доля, “децибел”. Дело станет яснее, если рассмотрим несколько примеров.
Случайность ли то, что и при оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое – следствие общего закона гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Как видим , логарифмы вторгаются и в область психологии.
Непрерывный рост капитала
В сберкассах процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в сберкассу положено 100 руб. из 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 руб. превратятся в 200 руб. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 рублей, если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. Это далеко не все, что можно рассказать о логарифмах. (См. Приложение 2)
Литература:
- Перельман Я.И. “Занимательная алгебра”.
- Азевич А.И. “Двадцать уроков гармонии”.